13 Un sac contient 5 boules blanches, 4 boules vertes et 3 boules rouges. 1. Détermine le nombre de manières de tirer en même temps 3 boules de même couleur. 2. Détermine le nombre de manières de tirer en même temps 3 boules de couleurs différentes deux à deux. 3. Détermine le nombre de manières de tirer en même temps 3 boules de couleurs différentes.

Question

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Pour résoudre ce problème, analysons chaque question étape par étape en utilisant les combinaisons.

**Données du problème :**
- Total des boules dans le sac : $$5$$ blanches, $$4$$ vertes, $$3$$ rouges.
- Nombre total de boules : $$5 + 4 + 3 = 12$$.

### 1. Nombre de manières de tirer en même temps 3 boules de même couleur

Nous devons calculer le nombre de combinaisons possibles pour tirer $$3$$ boules qui sont toutes de la même couleur. Cela se fait en calculant les combinaisons pour chaque couleur et en faisant la somme.

- **Boules blanches :** Il y a $$5$$ boules blanches. Le nombre de façons de choisir $$3$$ boules blanches est :
  $$
  C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10
  $$

- **Boules vertes :** Il y a $$4$$ boules vertes. Le nombre de façons de choisir $$3$$ boules vertes est :
  $$
  C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4
  $$

- **Boules rouges :** Il y a $$3$$ boules rouges. Le nombre de façons de choisir $$3$$ boules rouges est :
  $$
  C(3, 3) = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1
  $$

**Total des manières :**
$$
10 + 4 + 1 = 15
$$

**Réponse :** Il y a **15 manières** de tirer en même temps $$3$$ boules de la même couleur.

---

### 2. Nombre de manières de tirer en même temps 3 boules de couleurs différentes deux à deux

Interprétant la question comme le tirage de $$3$$ boules avec exactement **deux couleurs différentes**, c’est-à-dire deux boules d'une couleur et une boule d'une autre couleur. Il faut considérer toutes les paires de couleurs possibles.

- **Paires de couleurs possibles :**
  - **Blanc & Vert**
  - **Blanc & Rouge**
  - **Vert & Rouge**

Pour chaque paire, calculons le nombre de combinaisons où $$2$$ boules sont d'une couleur et $$1$$ boule de l'autre.

1. **Blanc & Vert :**
   $$
   C(5, 2) \times C(4, 1) + C(4, 2) \times C(5, 1) = 10 \times 4 + 6 \times 5 = 40 + 30 = 70
   $$

2. **Blanc & Rouge :**
   $$
   C(5, 2) \times C(3, 1) + C(3, 2) \times C(5, 1) = 10 \times 3 + 3 \times 5 = 30 + 15 = 45
   $$

3. **Vert & Rouge :**
   $$
   C(4, 2) \times C(3, 1) + C(3, 2) \times C(4, 1) = 6 \times 3 + 3 \times 4 = 18 + 12 = 30
   $$

**Total des manières :**
$$
70 + 45 + 30 = 145
$$

**Réponse :** Il y a **145 manières** de tirer en même temps $$3$$ boules de couleurs différentes deux à deux.

---

### 3. Nombre de manières de tirer en même temps 3 boules de couleurs différentes

Ici, nous devons tirer $$3$$ boules, chacune d'une couleur différente (une blanche, une verte, une rouge).

Le nombre de combinaisons est simplement le produit des choix pour chaque couleur :
$$
C(5, 1) \times C(4, 1) \times C(3, 1) = 5 \times 4 \times 3 = 60
$$

**Réponse :** Il y a **60 manières** de tirer en même temps $$3$$ boules de couleurs différentes.

---

**Résumé des réponses :**
1. **15 manières** de tirer $$3$$ boules de même couleur.
2. **145 manières** de tirer $$3$$ boules de couleurs différentes deux à deux.
3. **60 manières** de tirer $$3$$ boules de couleurs toutes différentes.
**Réponses simplifiées :** 1. Il y a **15 manières** de tirer en même temps 3 boules de la même couleur. 2. Il y a **145 manières** de tirer en même temps 3 boules de couleurs différentes deux à deux. 3. Il y a **60 manières** de tirer en même temps 3 boules de couleurs toutes différentes.

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