\( \left.\left.\begin{array}{l}90 \text { Una parabola ha il vertice nell'origine degli assi e asse di simmetria di equazione } y=0 \text {. La direttrice passa } \\ \text { per il punto } A(-1 ; 5) \text {. Scrivi l'equazione della parabola. }\end{array}\left[x=y^{2}+2 y-\frac{1}{4}\right] \right\rvert\, x+\frac{1}{4} y^{2}\right]\left[\begin{array}{l}x\end{array}\right] \)

Per determinare l'equazione della parabola, sappiamo che essa ha il vertice all'origine e l'asse di simmetria lungo l'asse \(x\) (dato che l'equazione dell'asse di simmetria è \(y=0\)). La forma generale di tale parabola è \(y^2 = 4px\), dove \(p\) è la distanza dal vertice alla direttrice. Dato che la direttrice passa per il punto \(A(-1, 5)\), possiamo calcolare \(p\) come la distanza dall'origine a questo punto tramite la formula della retta, e si scopre che \(p = -\frac{1}{4}\). Pertanto, l'equazione della parabola è \(y^2 = -x\). Se vuoi cimentarti con altre parabole, ricorda che la posizione della direttrice e del fuoco è essenziale per capire come si comporta la curva. I punti di intersezione, i punti stabili e il focus sono chiavi per risolvere problemi più complessi. Prova a disegnare la parabola e le sue linee di riferimento, gli assi e le direzioni del fuoco e della direttrice per rendere visuale la tua comprensione. Ricorda, le parabole non sono solo belle da guardare, ma anche pratiche: vengono usate per riflettori, antenna e persino nei progetti di ingegneria civile!