4. При каком значении \( \lambda \) прямые \( \ell_{1}: \frac{x-6}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1} \) и \( \ell_{2}: \frac{x-6}{1}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-\lambda}{0} \) пересекаются? Найти точку пересечения.

Чтобы линии \( \ell_{1} \) и \( \ell_{2} \) пересекались, они должны иметь одинаковые \( x, y, z \) координаты в какой-то момент времени. Записываем параметры \( \ell_{1} \): \[ x = 6 + t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + t, \] где \( t \) — параметр. Записываем параметры \( \ell_{2} \), принимая во внимание, что \( z \) не зависит от параметра, так как \( \frac{z-\lambda}{0} \) означает, что \( z \) остается постоянным: \[ x = 6 + s, \quad y = 4 + 4s, \quad z = \lambda, \] где \( s \) — другой параметр. Теперь приравняем \( x \), \( y \) и \( z \) для нахождения параметров \( t \) и \( s \): 1. \( 6 + t = 6 + s \) → \( t = s \) 2. \( 2t = 4 + 4s \) → подставляем \( t = s \): \[ 2s = 4 + 4s \implies -2s = 4 \implies s = -2. \] Следовательно, \( t = -2 \). 3. Теперь подставим \( t = -2 \) в \( z \): \[ z = -1 + (-2) = -3. \] Для линии \( \ell_{2} \) значение \( z = \lambda \), следовательно: \[ \lambda = -3. \] Теперь можем найти точку пересечения, подставив \( t = -2 \) в уравнения линии \( \ell_{1} \): \[ x = 6 + (-2) = 4, \quad y = 2(-2) = -4, \quad z = -3. \] Таким образом, точка пересечения: \[ (4, -4, -3). \] Итак, при \( \lambda = -3 \) прямые \( \ell_{1} \) и \( \ell_{2} \) пересекаются в точке \( (4, -4, -3) \).