4. При каком значении $$ \lambda $$ прямые $$ \ell_{1}: \frac{x-6}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1} $$ и $$ \ell_{2}: \frac{x-6}{1}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-\lambda}{0} $$ пересекаются? Найти точку пересечения.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Чтобы определить значение $$ \lambda $$, при котором прямые $$ \ell_{1} $$ и $$ \ell_{2} $$ пересекаются, а также найти точку пересечения, рассмотрим их уравнения.

**Прямая $$ \ell_{1} $$:**
$$
\frac{x - 6}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1} = t
$$
Тогда параметрические уравнения:
$$
\begin{cases}
x = 6 + t \
y = 2t \
z = -1 + t
\end{cases}
$$

**Прямая $$ \ell_{2} $$:**
$$
\frac{x - 6}{1} = \frac{y - 4}{4} = \frac{z - \lambda}{0}
$$
Из последнего равенства видно, что $$ z = \lambda $$ постоянно. Пусть:
$$
\frac{x - 6}{1} = \frac{y - 4}{4} = s
$$
Тогда параметрические уравнения:
$$
\begin{cases}
x = 6 + s \
y = 4 + 4s \
z = \lambda
\end{cases}
$$

**Условия пересечения:**
Для того чтобы точки на обеих прямых совпадали, должно выполняться:
$$
\begin{cases}
6 + t = 6 + s \
2t = 4 + 4s \
-1 + t = \lambda
\end{cases}
$$
Из первого уравнения получаем $$ t = s $$. Подставляем во второе:
$$
2t = 4 + 4t \
-2t = 4 \
t = -2
$$
Тогда:
$$
\lambda = -1 + t = -1 - 2 = -3
$$

**Точка пересечения:**
Подставляем $$ t = -2 $$ в уравнения $$ \ell_{1} $$:
$$
x = 6 + (-2) = 4 \
y = 2 \times (-2) = -4 \
z = -1 + (-2) = -3
$$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $$ (4, -4, -3) $$.

**Ответ:**

Прямые пересекаются при $$\lambda = -3$$. Точка пересечения имеет координаты $$(\,4,\; -4,\; -3\,)$$.
Прямые пересекаются при $$ \lambda = -3 $$. Точка пересечения имеет координаты $$ (4, -4, -3) $$.

При каком значении прямые
и пересекаются? Найти точку
пересечения.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions

При каком значении прямые и пересекаются? Найти точку пересечения.