$$ \frac { \sin x } { 1 + \cos x } + \frac { 1 + \operatorname { eg } x } { \sin x } = 2 \cdot \operatorname { cosec } x $$

Question

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Consideremos la ecuación

$$
\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=2\csc x.
$$

Observamos que se usan identidades conocidas de ángulos medios. Procedemos paso a paso.

1. Recordamos que existe la identidad

$$
\tan\frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1+\cos x}.
$$

Por lo tanto, el primer término se puede escribir como

$$
\frac{\sin x}{1+\cos x} = \tan\frac{x}{2}.
$$

2. Hay otra identidad que relaciona la función tangente de medio ángulo con las funciones cosecante y cotangente:

$$
\tan\frac{x}{2} = \csc x - \cot x.
$$

3. Notamos también que la expresión

$$
\frac{1+\cos x}{\sin x}
$$

se puede reconocer como

$$
\frac{1+\cos x}{\sin x} = \csc x + \cot x.
$$

(Esta identidad se obtiene multiplicando numerador y denominador por $$1-\cos x$$ y utilizando las fórmulas pitagóricas, pero en este caso es suficiente con recordarla.)

4. Sustituyendo ambas expresiones en la ecuación original, tenemos

$$
\tan\frac{x}{2} + \frac{1+\cos x}{\sin x} = \left(\csc x - \cot x\right) + \left(\csc x + \cot x\right).
$$

Al sumar, los términos $$-\cot x$$ y $$+\cot x$$ se cancelan, de manera que el lado izquierdo queda

$$
\csc x - \cot x + \csc x + \cot x = 2\csc x.
$$

5. Por tanto, la ecuación se reduce a

$$
2\csc x = 2\csc x,
$$

lo cual es una identidad.

6. Concluimos que la ecuación es cierta para todos los valores de $$x$$ que pertenecen al dominio de las expresiones originales. Es decir, debemos tener

$$
\sin x \neq 0 \quad \text{y} \quad 1+\cos x \neq 0.
$$

Recordemos que $$\sin x = 0$$ cuando $$x = k\pi$$ para $$k\in\mathbb{Z}$$ y $$1+\cos x = 0$$ cuando $$\cos x = -1$$, lo que ocurre para $$x = \pi + 2\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$. Nótese que en estos casos la expresión no está definida.

Por lo tanto, la solución es: la ecuación es una identidad para todos los $$x$$ tales que

$$
x \neq k\pi \quad \text{y} \quad x \neq \pi+2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}.
$$
La ecuación es una identidad para todos los valores de $$ x $$ excepto donde $$ \sin x = 0 $$ o $$ 1 + \cos x = 0 $$.

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