Encontrar la integral $$ \int \sin ^{5} 2 x \cos 2 x d x $$

Question

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Consideremos la integral
$$
\int \sin^5(2x) \cos(2x) \, dx.
$$

**Paso 1.** Realizamos el cambio de variable:
$$
u = \sin(2x).
$$
Calculamos la derivada de $$ u $$:
$$
\frac{du}{dx} = 2 \cos(2x) \quad \Longrightarrow \quad du = 2 \cos(2x) \, dx.
$$
De aquí se deduce que:
$$
\cos(2x) \, dx = \frac{du}{2}.
$$

**Paso 2.** Sustituimos en la integral:
$$
\int \sin^5(2x) \cos(2x) \, dx = \int u^5 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^5 \, du.
$$

**Paso 3.** Integramos con respecto a $$ u $$:
$$
\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6}.
$$
Entonces, la integral se vuelve:
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} = \frac{u^6}{12}.
$$

**Paso 4.** Regresamos a la variable original usando $$ u = \sin(2x) $$:
$$
\frac{u^6}{12} = \frac{\sin^6 (2x)}{12}.
$$

Por lo tanto, la solución de la integral es:
$$
\int \sin^5(2x) \cos(2x) \, dx = \frac{\sin^6(2x)}{12} + C,
$$
donde $$ C $$ es la constante de integración.
La integral $$ \int \sin^5(2x) \cos(2x) \, dx $$ se resuelve como $$ \frac{\sin^6(2x)}{12} + C $$, donde $$ C $$ es una constante.

Encontrar la integral

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