Esercizio 12.5 Determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per i punti $$ A $$ e $$ B $$, dove; $$ \begin{array}{l} ext { (i) } A=(-1,-1,0) \quad B=(-3,1,0) \ ext { (ii) } A=(2,1,2) \quad B=(1,1,-1) \ ext { (iii) } A=\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{5}, 1 ight) \quad B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3 ight)\end{array} $$

Question

Esercizio 12.5 Determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per i punti $$ A $$ e $$ B $$, dove; $$ \begin{array}{l}	ext { (i) } A=(-1,-1,0) \quad B=(-3,1,0) \ 	ext { (ii) } A=(2,1,2) \quad B=(1,1,-1) \ 	ext { (iii) } A=\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{5}, 1ight) \quad B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3ight)\end{array} $$

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Per determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta che passa per due punti $$ A $$ e $$ B $$ nello spazio, seguiamo i seguenti passaggi:

1. **Determinare il vettore direttore della retta**: Si calcola come differenza delle coordinate dei punti $$ B $$ e $$ A $$.
2. **Scrivere le equazioni parametriche**: Utilizzando un parametro $$ t $$, si esprimono le coordinate $$ x $$, $$ y $$, e $$ z $$ in funzione di $$ t $$.
3. **Scrivere le equazioni cartesiane**: Si eliminano i parametri per ottenere le relazioni tra $$ x $$, $$ y $$, e $$ z $$.

Procediamo con ciascun caso:

### **(i) $$ A=(-1,-1,0) $$ e $$ B=(-3,1,0) $$**

1. **Vettore direttore**:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - (-1), 1 - (-1), 0 - 0) = (-2, 2, 0)
   $$

2. **Equazioni parametriche**:
   $$
   \begin{cases}
   x = -1 - 2t \
   y = -1 + 2t \
   z = 0
   \end{cases}
   $$
   dove $$ t \in \mathbb{R} $$.

3. **Equazioni cartesiane**:
   Poiché $$ z $$ è costante (zero), la retta giace nel piano $$ z = 0 $$. Le equazioni cartesiane sono:
   $$
   \frac{x + 1}{-2} = \frac{y + 1}{2}, \quad z = 0
   $$
   oppure, semplificando:
   $$
   y = -x - 2, \quad z = 0
   $$

### **(ii) $$ A=(2,1,2) $$ e $$ B=(1,1,-1) $$**

1. **Vettore direttore**:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2, 1 - 1, -1 - 2) = (-1, 0, -3)
   $$

2. **Equazioni parametriche**:
   $$
   \begin{cases}
   x = 2 - t \
   y = 1 \
   z = 2 - 3t
   \end{cases}
   $$
   dove $$ t \in \mathbb{R} $$.

3. **Equazioni cartesiane**:
   Poiché $$ y $$ è costante, la retta giace nel piano $$ y = 1 $$. Le equazioni cartesiane sono:
   $$
   \frac{x - 2}{-1} = \frac{z - 2}{-3}, \quad y = 1
   $$
   oppure, semplificando:
   $$
   z = 3x - 4, \quad y = 1
   $$

### **(iii) $$ A=\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{5}, 1\right) $$ e $$ B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3\right) $$**

1. **Vettore direttore**:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = \left(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}, \frac{1}{5} - \frac{8}{5}, 3 - 1\right) = \left(-2, -\frac{7}{5}, 2\right)
   $$

2. **Equazioni parametriche**:
   $$
   \begin{cases}
   x = \frac{3}{2} - 2t \
   y = \frac{8}{5} - \frac{7}{5}t \
   z = 1 + 2t
   \end{cases}
   $$
   dove $$ t \in \mathbb{R} $$.

3. **Equazioni cartesiane**:
   Eliminando il parametro $$ t $$, otteniamo le relazioni tra le coordinate:
   $$
   \frac{x - \frac{3}{2}}{-2} = \frac{y - \frac{8}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{z - 1}{2}
   $$
   oppure, semplificando:
   $$
   \frac{x - \frac{3}{2}}{-2} = \frac{y - \frac{8}{5}}{-\frac{7}{5}} \quad \text{e} \quad \frac{x - \frac{3}{2}}{-2} = \frac{z - 1}{2}
   $$

## **Riassunto**

### **(i)**
- **Parametriche**:
  $$
  \begin{cases}
  x = -1 - 2t \
  y = -1 + 2t \
  z = 0
  \end{cases}
  $$
- **Cartesianas**:
  $$
  y = -x - 2, \quad z = 0
  $$

### **(ii)**
- **Parametriche**:
  $$
  \begin{cases}
  x = 2 - t \
  y = 1 \
  z = 2 - 3t
  \end{cases}
  $$
- **Cartesianas**:
  $$
  z = 3x - 4, \quad y = 1
  $$

### **(iii)**
- **Parametriche**:
  $$
  \begin{cases}
  x = \frac{3}{2} - 2t \
  y = \frac{8}{5} - \frac{7}{5}t \
  z = 1 + 2t
  \end{cases}
  $$
- **Cartesianas**:
  $$
  \frac{x - \frac{3}{2}}{-2} = \frac{y - \frac{8}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{z - 1}{2}
  $$

Spero che questo chiarisca come determinare le equazioni della retta per ciascuno dei casi proposti!
Per determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per due punti $$ A $$ e $$ B $$ nello spazio, seguiamo questi passaggi: 1. **Vettore direttore**: Calcolato come differenza tra le coordinate di $$ B $$ e $$ A $$. 2. **Equazioni parametriche**: Espressi le coordinate $$ x $$, $$ y $$, e $$ z $$ in funzione di un parametro $$ t $$. 3. **Equazioni cartesiane**: Eliminando il parametro, si ottengono le relazioni tra $$ x $$, $$ y $$, e $$ z $$. Applicando questi passaggi ai tre casi specificati: ### **(i) $$ A=(-1,-1,0) $$ e $$ B=(-3,1,0) $$** - **Vettore direttore**: $$ (-2, 2, 0) $$ - **Parametriche**: $$ \begin{cases} x = -1 - 2t \ y = -1 + 2t \ z = 0 \end{cases} $$ - **Cartesiane**: $$ y = -x - 2, \quad z = 0 $$ ### **(ii) $$ A=(2,1,2) $$ e $$ B=(1,1,-1) $$** - **Vettore direttore**: $$ (-1, 0, -3) $$ - **Parametriche**: $$ \begin{cases} x = 2 - t \ y = 1 \ z = 2 - 3t \end{cases} $$ - **Cartesiane**: $$ z = 3x - 4, \quad y = 1 $$ ### **(iii) $$ A=\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{5}, 1\right) $$ e $$ B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3\right) $$** - **Vettore direttore**: $$ \left(-2, -\frac{7}{5}, 2\right) $$ - **Parametriche**: $$ \begin{cases} x = \frac{3}{2} - 2t \ y = \frac{8}{5} - \frac{7}{5}t \ z = 1 + 2t \end{cases} $$ - **Cartesiane**: $$ \frac{x - \frac{3}{2}}{-2} = \frac{y - \frac{8}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{z - 1}{2} $$ Questi risultati mostrano come si possono determinare le equazioni parametriche e cartesiane per ogni coppia di punti dati.

Esercizio 12.5 Determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta
passante per i punti e , dove;

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(i) e

(ii) e

(iii) e

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(i)

(ii)

(iii)

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