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Esercizio 12.5 Determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per i punti \( A \) e \( B \), dove; \( \begin{array}{l}\text { (i) } A=(-1,-1,0) \quad B=(-3,1,0) \\ \text { (ii) } A=(2,1,2) \quad B=(1,1,-1) \\ \text { (iii) } A=\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{5}, 1\right) \quad B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3\right)\end{array} \)

Ask by Pope Pritchard. in Italy
Dec 26,2024

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Per determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per due punti \( A \) e \( B \) nello spazio, seguiamo questi passaggi: 1. **Vettore direttore**: Calcolato come differenza tra le coordinate di \( B \) e \( A \). 2. **Equazioni parametriche**: Espressi le coordinate \( x \), \( y \), e \( z \) in funzione di un parametro \( t \). 3. **Equazioni cartesiane**: Eliminando il parametro, si ottengono le relazioni tra \( x \), \( y \), e \( z \). Applicando questi passaggi ai tre casi specificati: ### **(i) \( A=(-1,-1,0) \) e \( B=(-3,1,0) \)** - **Vettore direttore**: \( (-2, 2, 0) \) - **Parametriche**: \[ \begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = -1 + 2t \\ z = 0 \end{cases} \] - **Cartesiane**: \[ y = -x - 2, \quad z = 0 \] ### **(ii) \( A=(2,1,2) \) e \( B=(1,1,-1) \)** - **Vettore direttore**: \( (-1, 0, -3) \) - **Parametriche**: \[ \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 \\ z = 2 - 3t \end{cases} \] - **Cartesiane**: \[ z = 3x - 4, \quad y = 1 \] ### **(iii) \( A=\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{5}, 1\right) \) e \( B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3\right) \)** - **Vettore direttore**: \( \left(-2, -\frac{7}{5}, 2\right) \) - **Parametriche**: \[ \begin{cases} x = \frac{3}{2} - 2t \\ y = \frac{8}{5} - \frac{7}{5}t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \] - **Cartesiane**: \[ \frac{x - \frac{3}{2}}{-2} = \frac{y - \frac{8}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{z - 1}{2} \] Questi risultati mostrano come si possono determinare le equazioni parametriche e cartesiane per ogni coppia di punti dati.

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The Deep Dive

Per determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per i punti \( A \) e \( B \), dobbiamo seguire alcuni passaggi. 1. **Calcolo del vettore direttore**: Il vettore \( \vec{d} \) che rappresenta la direzione della retta è dato dalla differenza tra le coordinate dei punti \( B \) e \( A \). Quindi, \( \vec{d} = B - A \). 2. **Equazioni parametriche**: Possiamo esprimere le equazioni parametriche della retta nel seguente modo: \[ \begin{cases} x = x_A + t d_x \\ y = y_A + t d_y \\ z = z_A + t d_z \end{cases} \] dove \( (x_A, y_A, z_A) \) sono le coordinate di \( A \), \( \vec{d} = (d_x, d_y, d_z) \) è il vettore direttore e \( t \) è il parametro. 3. **Equazione cartesiana**: L'equazione cartesiana della retta può essere trovata eliminando il parametro \( t \) dalle equazioni parametriche. Ora calcoliamo per ciascun caso. ### (i) \( A=(-1,-1,0) \quad B=(-3,1,0) \) 1. Vettore direttore: \[ \vec{d} = B - A = (-3 - (-1), 1 - (-1), 0 - 0) = (-2, 2, 0) \] 2. Equazioni parametriche: \[ \begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = -1 + 2t \\ z = 0 \end{cases} \] 3. Eliminando \( t \): Dalla prima equazione \( t = \frac{-1 - x}{2} \) e sostituendo nella seconda troviamo \( y = -1 + (-1 - x) = -x - 1 \). Quindi, l'equazione cartesiana è: \[ y = -x - 1 \] ### (ii) \( A=(2,1,2) \quad B=(1,1,-1) \) 1. Vettore direttore: \[ \vec{d} = B - A = (1 - 2, 1 - 1, -1 - 2) = (-1, 0, -3) \] 2. Equazioni parametriche: \[ \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 \\ z = 2 - 3t \end{cases} \] 3. Per ottenere l'equazione cartesiana, poiché \( y = 1 \) è costante, possiamo esprimere \( t \) in funzione di \( x \) e \( z \): - Da \( x = 2 - t \) seguiamo: \( t = 2 - x \). - Sostituendo in \( z = 2 - 3t \), otteniamo \( z = 2 - 3(2 - x) = 3x - 4 \). Quindi l'equazione cartesiana è: \[ z = 3x - 4, \quad y = 1 \] ### (iii) \( A=\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{5}, 1\right) \quad B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3\right) \) 1. Vettore direttore: \[ \vec{d} = B - A = \left(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}, \frac{1}{5} - \frac{8}{5}, 3 - 1\right) = \left(-2, -\frac{7}{5}, 2\right) \] 2. Equazioni parametriche: \[ \begin{cases} x = \frac{3}{2} - 2t \\ y = \frac{8}{5} - \frac{7}{5}t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \] 3. Per eliminare \( t \), ricaviamo \(

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