(NL) El área de un rectángulo mide $$ 48 \mathrm{~cm}^{2} $$ y la diagonal mide $$ 10 \mathrm{~cm}, ¿ $$ Cuánto miden los lados del rectángulo?

Question

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Para determinar las medidas de los lados del rectángulo, seguimos los siguientes pasos:

1. **Definimos las variables:**
   - Sea $$ x $$ y $$ y $$ las longitudes de los lados del rectángulo.

2. **Planteamos las ecuaciones:**
   - Área: $$ x \cdot y = 48 $$ cm²
   - Diagonal: $$ x^2 + y^2 = 10^2 $$ cm² $$ \Rightarrow $$ $$ x^2 + y^2 = 100 $$

3. **Despejamos una variable:**
   - De la ecuación del área: $$ y = \frac{48}{x} $$

4. **Sustituimos en la ecuación de la diagonal:**
   $$
   x^2 + \left( \frac{48}{x} \right)^2 = 100
   $$
   $$
   x^2 + \frac{2304}{x^2} = 100
   $$
   
5. **Multiplicamos por $$ x^2 $$ para eliminar el denominador:**
   $$
   x^4 + 2304 = 100x^2
   $$
   $$
   x^4 - 100x^2 + 2304 = 0
   $$
   
6. **Resolviendo la ecuación cuadrática en $$ x^2 $$:**
   - Sea $$ z = x^2 $$, entonces:
     $$
     z^2 - 100z + 2304 = 0
     $$
   - Calculamos el discriminante:
     $$
     D = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 784
     $$
   - Solucionamos para $$ z $$:
     $$
     z = \frac{100 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{100 \pm 28}{2}
     $$
     $$
     z = 64 \quad \text{o} \quad z = 36
     $$
   
7. **Obtenemos los valores de $$ x $$ y $$ y $$:**
   - Si $$ z = 64 $$, entonces $$ x = 8 $$ cm y $$ y = \frac{48}{8} = 6 $$ cm.
   - Si $$ z = 36 $$, entonces $$ x = 6 $$ cm y $$ y = \frac{48}{6} = 8 $$ cm.

**Conclusión:** Los lados del rectángulo miden **6 cm** y **8 cm**.
Los lados del rectángulo miden 6 cm y 8 cm.

(NL) El área de un rectángulo mide y la diagonal mide $¿$ Cuánto miden los lados del
rectángulo?

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