3. Realiza la gráfica de una función $$ f $$ cuyo dominio sè todo el conjunto de los números reales y que satisfa ga las siguientes condiciones en cada caso: - fes una función par. - fes creciente en $$ [0,2] $$ y decreciente en $$ (2,8) $$. - $$ f(2)=3 $$.

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Para graficar una función $$ f $$ que cumpla las condiciones especificadas, seguiremos paso a paso cada uno de los requisitos: 1. **Función Par ($$ f(-x) = f(x) $$):** La función debe ser simétrica respecto al eje $$ y $$. Esto significa que la parte de la gráfica para $$ x \geq 0 $$ se reflejará de manera exacta para $$ x < 0 $$. 2. **Creciente en $$ [0,2] $$ y Decreciente en $$ (2,8) $$:** - **Intervalo $$ [0,2] $$:** La función aumenta de manera lineal o suave desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 2 $$. - **Intervalo $$ (2,8) $$:** La función disminuye de manera lineal o suave desde $$ x = 2 $$ hasta $$ x = 8 $$. 3. **Punto Específico $$ f(2) = 3 $$:** En $$ x = 2 $$, la función alcanza el valor $$ 3 $$. ### Construcción de la Gráfica A continuación, se presenta una construcción paso a paso de la gráfica: 1. **Definición de la Función para $$ x \geq 0 $$:** - **Para $$ 0 \leq x \leq 2 $$:** La función puede definirse como una función lineal creciente. Por ejemplo: $$ f(x) = \frac{3}{2}x $$ - En $$ x = 0 $$: $$ f(0) = 0 $$ - En $$ x = 2 $$: $$ f(2) = 3 $$ - **Para $$ 2 < x \leq 8 $$:** La función debe ser lineal decreciente de $$ (2, 3) $$ a $$ (8, c) $$, donde $$ c $$ es el valor en $$ x = 8 $$. Supongamos que $$ f(8) = -1 $$ (puedes elegir otro valor según preferencia): $$ f(x) = -\frac{3}{6}(x - 2) + 3 = -0.5x + 4 $$ - En $$ x = 2 $$: $$ f(2) = 3 $$ - En $$ x = 8 $$: $$ f(8) = -0.5(8) + 4 = 0 $$ 2. **Extensión a $$ |x| > 8 $$:** Para mantener la función definida en todo $$ \mathbb{R} $$ y preservar la paridad, se puede continuar con la misma pendiente: $$ f(x) = -0.5|x| + 4 \quad \text{para} \quad |x| > 8 $$ Sin embargo, esto puede llevar a que la función disminuya indefinidamente. Alternativamente, se puede establecer que: $$ f(x) = -0.5|x| + 4 \quad \text{para} \quad |x| > 8 $$ Manteniendo así la simetría y comportamiento. 3. **Definición Completa de la Función:** $$ f(x) = \begin{cases} \frac{3}{2}|x| & \text{si } |x| \leq 2, \ -0.5|x| + 4 & \text{si } 2 < |x| \leq 8, \ -0.5|x| + 4 & \text{si } |x| > 8. \end{cases} $$ ### Descripción de la Gráfica 1. **Simetría:** La gráfica será simétrica respecto al eje $$ y $$, reflejando los mismos comportamientos para $$ x \geq 0 $$ y $$ x \leq 0 $$. 2. **Crecimiento y Decrecimiento:** - **Desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 2 $$:** La función aumenta linealmente de $$ (0, 0) $$ a $$ (2, 3) $$. - **Desde $$ x = 2 $$ hasta $$ x = 8 $$:** La función disminuye linealmente de $$ (2, 3) $$ a $$ (8, 0) $$. - **Más allá de $$ x = 8 $$:** La función continúa disminuyendo con la misma pendiente. 3. **Puntos Clave:** - **Máximo Local en $$ x = 2 $$:** $$ f(2) = 3 $$ y $$ f(-2) = 3 $$. - **Intersección con el Eje $$ y $$:** En $$ (0, 0) $$. ### Representación Gráfica Aunque no puedo dibujar la gráfica aquí, a continuación se describe cómo trazarla: 1. **Puntos Iniciales:** - Marca los puntos $$ (0, 0) $$, $$ (2, 3) $$, $$ (8, 0) $$, $$ (-2, 3) $$, y $$ (-8, 0) $$. 2. **Segmentos Lineales:** - Dibuja una línea recta desde $$ (0, 0) $$ hasta $$ (2, 3) $$. - Desde $$ (2, 3) $$ hasta $$ (8, 0) $$, dibuja una línea recta con pendiente negativa. - Repite los mismos segmentos en el lado negativo de $$ x $$ debido a la paridad de la función. 3. **Extensión:** - Para $$ |x| > 8 $$, extiende las líneas con la misma pendiente para mantener la continuidad de la función. ### Gráfica Aproximada ``` y | 4 | /\ 3 | / \ 2 | / \ 1 | / \ 0 |-------/--------\------- -8 -2 0 2 8 x ``` - **Desde $$ x = -8 $$ a $$ x = -2 $$:** Línea decreciente. - **Desde $$ x = -2 $$ a $$ x = 0 $$:** Línea creciente. - **Desde $$ x = 0 $$ a $$ x = 2 $$:** Línea creciente. - **Desde $$ x = 2 $$ a $$ x = 8 $$:** Línea decreciente. - **Repite la simetría en ambos lados.** ### Consideraciones Finales - **Continuidad:** La función es continua en todos los intervalos definidos. - **Derivabilidad:** Si se utilizan segmentos lineales, la función no será diferenciable en $$ x = \pm2 $$ ni en $$ x = \pm8 $$. Para una función suavizada, se podrían usar funciones polinómicas o trigonométricas que satisfagan las condiciones dadas. - **Dominio y Rango:** El dominio es todo $$ \mathbb{R} $$. El rango, basado en la construcción, va desde $$ f(x) = 0 $$ hasta $$ f(x) = 3 $$. Esta es una manera de construir y representar gráficamente la función $$ f $$ que cumple con todas las condiciones solicitadas. Para graficar la función $$ f $$ que es par, creciente en $$ [0,2] $$ y decreciente en $$ (2,8) $$, con $$ f(2)=3 $$, sigue estos pasos: 1. **Función Par:** La gráfica es simétrica respecto al eje $$ y $$. 2. **Creciente en $$ [0,2] $$:** La función aumenta desde $$ x=0 $$ hasta $$ x=2 $$. 3. **Decreciente en $$ (2,8) $$:** La función disminuye desde $$ x=2 $$ hasta $$ x=8 $$. 4. **Punto Específico:** En $$ x=2 $$, $$ f(2)=3 $$. La gráfica tendrá una línea creciente desde $$ (0,0) $$ hasta $$ (2,3) $$, luego una línea decreciente desde $$ (2,3) $$ hasta $$ (8,0) $$, y se reflejará simétricamente en el lado negativo de $$ x $$.

3. Realiza la gráfica de una función \( f \) cuyo dominio sè todo el conjunto de los números reales y que satisfa ga las siguientes condiciones en cada caso: - fes una función par. - fes creciente en \( [0,2] \) y decreciente en \( (2,8) \). - \( f(2)=3 \).

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