12. Berechne die Winkeldes Dreiecks mit den Ecken \( \mathrm{A}(2 / 1 /-3), \mathrm{B}(-3 / 0 / 1) \) und \( \mathrm{C}(7 /-1 /-1) \).

Um die Winkel eines Dreiecks mit den gegebenen Punkten A, B und C zu berechnen, müssen wir zuerst die Vektoren AB, AC und BC bestimmen. 1. **Vektor AB**: \( B - A = (-3 - 2, 0 - 1, 1 - (-3)) = (-5, -1, 4) \) 2. **Vektor AC**: \( C - A = (7 - 2, -1 - 1, -1 - (-3)) = (5, -2, 2) \) 3. **Vektor BC**: \( C - B = (7 - (-3), -1 - 0, -1 - 1) = (10, -1, -2) \) Nun können wir die Längen der Vektoren berechnen: - **Länge von AB**: \( |AB| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42} \) - **Länge von AC**: \( |AC| = \sqrt{(5)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4 + 4} = \sqrt{33} \) - **Länge von BC**: \( |BC| = \sqrt{(10)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 1 + 4} = \sqrt{105} \) Jetzt verwenden wir das Kosinussatz, um die Winkel zu finden: 1. **Winkel A**: \[ \cos(A) = \frac{|AB|^2 + |AC|^2 - |BC|^2}{2 \cdot |AB| \cdot |AC|} \] \[ \cos(A) = \frac{42 + 33 - 105}{2 \cdot \sqrt{42} \cdot \sqrt{33}} \] 2. **Winkel B**: \[ \cos(B) = \frac{|BA|^2 + |BC|^2 - |AC|^2}{2 \cdot |BA| \cdot |BC|} \] 3. **Winkel C**: \[ \cos(C) = \frac{|CA|^2 + |CB|^2 - |AB|^2}{2 \cdot |CA| \cdot |CB|} \] Nach dem Berechnen von \( \cos(A) \), \( \cos(B) \) und \( \cos(C) \) können die Winkel A, B und C mit der umgekehrten Kosinusfunktion (arccos) gefunden werden. Um die genauen Werte zu bestimmen, sind Taschenrechner oder Software zum Berechnen von Winkeln in Bogenmaß oder Grad erforderlich.