Calcula las siguientes integrales por el método de sustitución $$ \int \frac{6 t^{2}+12 t}{\left(2 t^{3}+6 t^{2}\right)^{\frac{3}{4}}} d t $$ $$ \int \frac{8 x}{\sqrt[3]{\left(4 x^{2}-7\right)^{2}}} d x $$

Question

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Claro, calculemos las integrales utilizando el método de sustitución.

### Primera Integral
$$
\int \frac{6 t^{2}+12 t}{\left(2 t^{3}+6 t^{2}\right)^{\frac{3}{4}}} \, dt
$$

**Paso 1: Sustitución**
Sea $$ u = 2t^3 + 6t^2 $$.

**Paso 2: Derivada de $$ u $$**
$$
\frac{du}{dt} = 6t^2 + 12t \quad \Rightarrow \quad du = (6t^2 + 12t) \, dt
$$

**Paso 3: Reescribir la integral en términos de $$ u $$**
$$
\int \frac{du}{u^{3/4}} = \int u^{-3/4} \, du
$$

**Paso 4: Integrar respecto a $$ u $$**
$$
\int u^{-3/4} \, du = \frac{u^{1/4}}{1/4} + C = 4u^{1/4} + C
$$

**Paso 5: Sustituir $$ u $$ de regreso en términos de $$ t $$**
$$
4(2t^3 + 6t^2)^{1/4} + C
$$

**Resultado:**
$$
\int \frac{6 t^{2}+12 t}{\left(2 t^{3}+6 t^{2}\right)^{\frac{3}{4}}} \, dt = 4(2t^3 + 6t^2)^{1/4} + C
$$

---

### Segunda Integral
$$
\int \frac{8 x}{\sqrt[3]{\left(4 x^{2}-7\right)^{2}}} \, dx
$$

**Paso 1: Sustitución**
Sea $$ u = 4x^2 - 7 $$.

**Paso 2: Derivada de $$ u $$**
$$
\frac{du}{dx} = 8x \quad \Rightarrow \quad du = 8x \, dx
$$

**Paso 3: Reescribir la integral en términos de $$ u $$**
$$
\int \frac{du}{u^{2/3}} = \int u^{-2/3} \, du
$$

**Paso 4: Integrar respecto a $$ u $$**
$$
\int u^{-2/3} \, du = \frac{u^{1/3}}{1/3} + C = 3u^{1/3} + C
$$

**Paso 5: Sustituir $$ u $$ de regreso en términos de $$ x $$**
$$
3(4x^2 - 7)^{1/3} + C
$$

**Resultado:**
$$
\int \frac{8 x}{\sqrt[3]{\left(4 x^{2}-7\right)^{2}}} \, dx = 3(4x^2 - 7)^{1/3} + C
$$
Primera integral: $$ \int \frac{6 t^{2}+12 t}{\left(2 t^{3}+6 t^{2}\right)^{\frac{3}{4}}} \, dt = 4(2t^3 + 6t^2)^{1/4} + C $$ Segunda integral: $$ \int \frac{8 x}{\sqrt[3]{\left(4 x^{2}-7\right)^{2}}} \, dx = 3(4x^2 - 7)^{1/3} + C $$

Calcula las siguientes integrales por el
método de sustitución

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