Esercizio 6 (6 punti) Date le funzioni \[ f(x, y)=5 x+5 y \] \[ g(x, y)=x^{2}+\frac{x y}{4}+y^{2}-1 \] determinare: a i punti critici della funzione Lagrangiana \[ \mathscr{L}(x, y, \lambda)=f(x, y)-\lambda g(x, y) \] \( b \max _{g(x, y)=0}\{f(x, y)\} \) ed \( i \) punti di massimo vincolati; c) \( \min _{g(x, y)=0}\{f(x, y)\} \) ed \( i \) punti di minimo vincolati.
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Per risolvere il problema, iniziamo a calcolare i punti critici della funzione Lagrangiana: \[ \mathscr{L}(x, y, \lambda) = 5x + 5y - \lambda \left( x^2 + \frac{xy}{4} + y^2 - 1 \right). \] Calcoliamo ora le derivate parziali e le poniamo uguali a zero: 1. Derivata rispetto a \(x\): \[ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x} = 5 - \lambda \left( 2x + \frac{y}{4} \right) = 0. \] 2. Derivata rispetto a \(y\): \[ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y} = 5 - \lambda \left( 2y + \frac{x}{4} \right) = 0. \] 3. Derivata rispetto a \(\lambda\): \[ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \lambda} = -g(x, y) = 0. \] Ora abbiamo un sistema di equazioni da risolvere: \[ 5 - \lambda (2x + \frac{y}{4}) = 0, \] \[ 5 - \lambda (2y + \frac{x}{4}) = 0, \] \[ g(x, y) = x^2 + \frac{xy}{4} + y^2 - 1 = 0. \] ### Passo a passo per trovare i punti critici: Da queste equazioni possiamo isolare \(\lambda\): \[ \lambda = \frac{5}{2x + \frac{y}{4}} \quad \text{(1)} \] \[ \lambda = \frac{5}{2y + \frac{x}{4}} \quad \text{(2)} \] Eguagliando le due espressioni di \(\lambda\): \[ \frac{5}{2x + \frac{y}{4}} = \frac{5}{2y + \frac{x}{4}}. \] Semplificando, otteniamo: \[ 2y + \frac{x}{4} = 2x + \frac{y}{4}. \] Moltiplicando tutto per 4 per eliminare i denominatori: \[ 8y + x = 8x + y. \] Riorganizzando, abbiamo: \[ 7y = 7x \implies y = x. \] ### Sostituendo nella restrizione: Sostituiamo \(y = x\) nell'equazione del vincolo \(g(x, y) = 0\): \[ x^2 + \frac{x^2}{4} + x^2 - 1 = 0. \] Sommiamo i termini: \[ 2.25x^2 - 1 = 0 \implies 2.25x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{4}{9} \implies x = \pm\frac{2}{3}. \] Quindi: - \(x = \frac{2}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3}\) - \(x = -\frac{2}{3} \Rightarrow y = -\frac{2}{3}\) ### Punti critici: Abbiamo quindi i punti critici \( \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) \) e \( \left( -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right) \). ### Massimo e minimo vincolati: Per il massimo e il minimo di \(f(x,y)\) vincolati a \(g(x,y)=0\): 1. Calcoliamo \(f\) in \( \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) \): \[ f\left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) = 5 \left( \frac{2}{3} \right) + 5 \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{20}{3}. \] 2. Calcoliamo \(f\) in \( \left( -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right) \): \[ f\left( -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right) = 5 \left( -\