Examen Yarciar (1) Hallar la ecuación General de la recta que pasa por \( (1,5) \) y es perpendicular a la pecta por. \( A(-7,6) \) y \( B(5,2) \)

Para hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto \( (1,5) \) y es perpendicular a la recta que une los puntos \( A(-7,6) \) y \( B(5,2) \), seguimos los siguientes pasos: ### 1. Determinar la pendiente de la recta \( AB \) Primero, calculamos la pendiente \( m_{AB} \) de la recta que pasa por los puntos \( A(-7,6) \) y \( B(5,2) \): \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 6}{5 - (-7)} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \] ### 2. Hallar la pendiente de la recta perpendicular La pendiente \( m_{\perp} \) de una recta perpendicular a \( AB \) es el negativo recíproco de \( m_{AB} \): \[ m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 3 \] ### 3. Utilizar la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta Conocemos un punto por el que pasa la recta \( (1,5) \) y su pendiente \( m_{\perp} = 3 \). Usamos la fórmula punto-pendiente: \[ y - y_1 = m_{\perp}(x - x_1) \] Sustituyendo los valores: \[ y - 5 = 3(x - 1) \] \[ y - 5 = 3x - 3 \] \[ y = 3x + 2 \] ### 4. Convertir a la forma general de la ecuación de la recta La forma general de la ecuación de una recta es \( Ax + By + C = 0 \). Reorganizamos la ecuación obtenida: \[ y = 3x + 2 \quad \Rightarrow \quad -3x + y - 2 = 0 \] Multiplicamos toda la ecuación por \(-1\) para tener \( A \) positivo: \[ 3x - y + 2 = 0 \] ### **Respuesta Final** La **ecuación general** de la recta buscada es: \[ 3x - y + 2 = 0 \]