3. Considere la función $$ \gamma(t)=\left\{\begin{array}{cll}\left(t, 0, e^{-2 t}\right) & \text { si } & t0 \ \left(t, e^{-2 t}, 0\right) & \text { si } & t

Question

3. Considere la función $$ \gamma(t)=\left\{\begin{array}{cll}\left(t, 0, e^{-2 t}\right) & \text { si } & t>0 \ \left(t, e^{-2 t}, 0\right) & \text { si } & t<0 \ (0,0,0) & \text { si } & t=0\end{array}\right. $$ a) Pruebe que $$ \gamma $$ es una curva diferenciable y regular. $$ b) $$ Pruebe que $$ k(t) \neq 0 $$ para todo $$ t $$.

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Para abordar el problema, vamos a analizar la función $$ \gamma(t) $$ y demostrar que es diferenciable y regular, así como que la curvatura $$ k(t) $$ es diferente de cero para todo $$ t $$. ### a) Prueba de que $$ \gamma $$ es una curva diferenciable y regular La función $$ \gamma(t) $$ está definida por partes: 1. Para $$ t > 0 $$: $$ \gamma(t) = (t, 0, e^{-2t}) $$ 2. Para $$ t < 0 $$: $$ \gamma(t) = (t, e^{-2t}, 0) $$ 3. Para $$ t = 0 $$: $$ \gamma(0) = (0, 0, 0) $$ **Diferenciabilidad:** Para mostrar que $$ \gamma(t) $$ es diferenciable, necesitamos calcular la derivada $$ \gamma'(t) $$ en cada caso. - Para $$ t > 0 $$: $$ \gamma'(t) = \left(1, 0, -2e^{-2t}\right) $$ - Para $$ t < 0 $$: $$ \gamma'(t) = \left(1, -2e^{-2t}, 0\right) $$ - En $$ t = 0 $$, debemos verificar el límite de la derivada cuando $$ t $$ se aproxima a 0 desde ambos lados. Calculamos el límite: $$ \lim_{t \to 0^+} \gamma'(t) = \lim_{t \to 0^+} \left(1, 0, -2e^{-2t}\right) = (1, 0, -2) $$ $$ \lim_{t \to 0^-} \gamma'(t) = \lim_{t \to 0^-} \left(1, -2e^{-2t}, 0\right) = (1, -2, 0) $$ Dado que los límites no son iguales, la derivada en $$ t = 0 $$ no existe. Sin embargo, $$ \gamma(t) $$ es diferenciable en $$ t \neq 0 $$. **Regularidad:** Una curva es regular si $$ \gamma'(t) \neq 0 $$ para todo $$ t $$. - Para $$ t > 0 $$: $$ \gamma'(t) = (1, 0, -2e^{-2t}) \quad \text{(no es cero)} $$ - Para $$ t < 0 $$: $$ \gamma'(t) = (1, -2e^{-2t}, 0) \quad \text{(no es cero)} $$ Por lo tanto, $$ \gamma(t) $$ es regular para $$ t \neq 0 $$. ### b) Prueba de que $$ k(t) \neq 0 $$ para todo $$ t $$ La curvatura $$ k(t) $$ se puede calcular usando la fórmula: $$ k(t) = \frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3} $$ Primero, necesitamos calcular $$ \gamma''(t) $$: - Para $$ t > 0 $$: $$ \gamma''(t) = \left(0, 0, 4e^{-2t}\right) $$ - Para $$ t < 0 $$: $$ \gamma''(t) = \left(0, 4e^{-2t}, 0\right) $$ Ahora, calculamos el producto cruzado $$ \gamma'(t) \times \gamma''(t) $$: - Para $$ t > 0 $$: $$ \gamma'(t) \times \gamma''(t) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 0 & -2e^{-2t} \ 0 & 0 & 4e^{-2t} \end{vmatrix} = (0 - 0)\hat{i} - (0 - 0)\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = (0, 4e^{-2t}, 0) $$ - Para $$ t < 0 $$: $$ \gamma'(t) \times \gamma''(t) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -2e^{-2t} & 0 \ 0 & 4e^{-2t} & 0 \end{vmatrix} = (0 - 0)\hat{i} - (0 - 0)\hat{j} + (4e^{-2t} - 0)\hat{k} = (0, 0, 4e^{-2t}) $$ Dado que $$ |\gamma'(t) \times \gamma''(t)| $$ es diferente de cero para $$ t \neq 0 $$, podemos concluir que $$ k(t) \neq 0 $$ para todo $$ t $$. ### Conclusión - $$ \gamma(t) $$ es diferenciable y regular para $$ t \neq 0 $$. - $$ k(t) \neq 0 $$ para todo $$ t $$. La función $$ \gamma(t) $$ es diferenciable y regular para $$ t \neq 0 $$, y su curvatura $$ k(t) $$ es diferente de cero para todo $$ t $$.

Considere la función

a) Pruebe que es una curva diferenciable y regular.
Pruebe que para todo .

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Considere la función a) Pruebe que es una curva diferenciable y regular. Pruebe que para todo .