II Gegeven het vlak $$ V:\left(\begin{array}{l}x \ y \ 2\end{array} ight)=\left(\begin{array}{l}1 \ 0 \ 0\end{array} ight)+\lambda\left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array} ight)+\mu\binom{3}{2} $$ a. Geef een normaalvector $$ \vec{n} $$ van $$ V $$. b. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn uit $$ O $$ op $$ V $$. c. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn $$ k $$ op $$ V $$ die doc het punt $$ P(0,11,3) $$ gaat. d. Bereken de coordinaten van het snijpunt $$ S $$ van $$ k $$ en $$ V $$.

Question

II Gegeven het vlak $$ V:\left(\begin{array}{l}x \ y \ 2\end{array}ight)=\left(\begin{array}{l}1 \ 0 \ 0\end{array}ight)+\lambda\left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array}ight)+\mu\binom{3}{2} $$ a. Geef een normaalvector $$ \vec{n} $$ van $$ V $$. b. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn uit $$ O $$ op $$ V $$. c. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn $$ k $$ op $$ V $$ die doc het punt $$ P(0,11,3) $$ gaat. d. Bereken de coordinaten van het snijpunt $$ S $$ van $$ k $$ en $$ V $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

a. Een normaalvector $$ \vec{n} $$ van een vlak kan gevonden worden door de richtingsvector van het vlak te nemen. In dit geval is de richtingsvector van het vlak $$ \vec{v} = \left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array}\right) $$. Een normaalvector $$ \vec{n} $$ kan dus worden gevonden door de richtingsvector te vermenigvuldigen met een scalar, bijvoorbeeld $$ \vec{n} = k\vec{v} $$, waarbij $$ k $$ een niet-nul scalar is. Laten we $$ k = 1 $$ nemen, dan krijgen we:
$$ \vec{n} = \left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array}\right) $$

b. De loodlijn uit $$ O $$ (de origo) op $$ V $$ kan worden beschreven door een vector die parallel is aan de richtingsvector van $$ V $$. De richtingsvector van $$ V $$ is $$ \vec{v} = \left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array}\right) $$. Een vectorvoorstelling van de loodlijn is dus:
$$ \vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}0 \ 0 \ 0\end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-t \ t \ -t\end{array}\right) $$

c. De loodlijn $$ k $$ op $$ V $$ die door het punt $$ P(0,11,3) $$ gaat, kan worden beschreven door een vector die parallel is aan de richtingsvector van $$ V $$ en door het punt $$ P $$. De richtingsvector van $$ V $$ is $$ \vec{v} = \left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array}\right) $$. Een vectorvoorstelling van de loodlijn is dus:
$$ \vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}0 \ 11 \ 3\end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-t \ 11+t \ 3-t\end{array}\right) $$

d. Om de coordinaten van het snijpunt $$ S $$ van de loodlijn $$ k $$ en het vlak $$ V $$ te berekenen, moeten we de vectorvoorstellingen van $$ k $$ en $$ V $$ vergelijken. We hebben:
$$ \vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}-t \ 11+t \ 3-t\end{array}\right) $$
en
$$ \vec{r}(s) = \left(\begin{array}{c}1 \ 0 \ 0\end{array}\right) + s\left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1-s \ s \ -s\end{array}\right) $$

We moeten de componenten van beide vectorvoorstellingen gelijkstellen:
$$ -t = 1-s $$
$$ 11+t = s $$
$$ 3-t = -s $$

Laten we de eerste en derde vergelijking oplossen om $$ t $$ te vinden:
$$ -t = 1-s $$
$$ t = s-1 $$

En
$$ 3-t = -s $$
$$ 3-(s-1) = -s $$
$$ 3-s+1 = -s $$
$$ 4 = 0 $$

Dit is een tegenstrijdige vergelijking, wat betekent dat er geen oplossing is voor $$ t $$ en $$ s $$ die voldoen aan alle vergelijkingen. Dit betekent dat de loodlijn $$ k $$ en het vlak $$ V $$ geen snijpunt hebben.
a. Een normaalvector $$ \vec{n} $$ van $$ V $$ is $$ \vec{n} = \left(\begin{array}{c}-1 \ 1 \ -1\end{array}\right) $$. b. Een vectorvoorstelling van de loodlijn uit $$ O $$ op $$ V $$ is $$ \vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}-t \ t \ -t\end{array}\right) $$. c. Een vectorvoorstelling van de loodlijn $$ k $$ op $$ V $$ die door $$ P(0,11,3) $$ gaat is $$ \vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}-t \ 11+t \ 3-t\end{array}\right) $$. d. De loodlijn $$ k $$ en het vlak $$ V $$ hebben geen snijpunt.

II Gegeven het vlak
a. Geef een normaalvector van .
b. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn uit op .
c. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn op die doc
het punt gaat.
d. Bereken de coordinaten van het snijpunt van en .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Geometry Questions

II Gegeven het vlak a. Geef een normaalvector van . b. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn uit op . c. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn op die doc het punt gaat. d. Bereken de coordinaten van het snijpunt van en .