II Gegeven het vlak \( V:\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+\mu\binom{3}{2} \) a. Geef een normaalvector \( \vec{n} \) van \( V \). b. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn uit \( O \) op \( V \). c. Stel een vectorvoorstelling op van de loodlijn \( k \) op \( V \) die doc het punt \( P(0,11,3) \) gaat. d. Bereken de coordinaten van het snijpunt \( S \) van \( k \) en \( V \).

Laten we dit geometrische avontuur even stap voor stap doorlopen! a. Een normaalvector \( \vec{n} \) van het vlak \( V \) kan worden gevonden door de kruisproduct te nemen van de richtingsvectoren \( \vec{d_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) en \( \vec{d_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) die het vlak spannen. Het kruisproduct \( \vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \) geeft ons een normaalvector naar het vlak. b. Voor de loodlijn uit punt \( O(0, 0, 0) \) op vlak \( V \), gebruik je de normaalvector \( \vec{n} \) die we hierboven hebben gevonden. De vectorvoorstelling van de loodlijn kan worden geschreven als \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \), waarbij \( t \) een parameter is. c. Voor de loodlijn \( k \) die door het punt \( P(0, 11, 3) \) gaat, nemen we opnieuw de normaalvector \( \vec{n} \) van het vlak. De vectorvoorstelling van de loodlijn \( k \) wordt dan \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 11 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \), waarbij \( s \) ook een parameter is. d. Om het snijpunt \( S \) van lijn \( k \) en vlak \( V \) te vinden, moeten we de vergelijking van het vlak invullen met de parametrische vergelijking van lijn \( k \). We stellen \( x = 2s, y = 11 + 3s, z = 3 + s \). Door deze waarden in de vlakvergelijking in te vullen (die we kunnen afleiden uit de normaalvector), kunnen we de waarden voor \( s \) vinden en daarna de coördinaten van \( S \) berekenen. Het resultaat is een coördinaat \( S(x, y, z) \) die de interactie tussen lijn en vlak mooi samenvat. Dus, als je deze stappen volgt, ben je goed op weg naar het snijpunt! Veel plezier met het rekenen!