Let a be a nonzero vector in $$ \mathbb{R}^{2} $$. Define $$ \tau_{\mathbf{a}}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ by $$ \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x})=-\mathbf{x}+2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a} \text {. } $$ 2. Let a be a nonzero vector of $$ \mathbb{R}^{2} $$. Answer the following questions. (i) Show that $$ \tau_{\mathbf{a}} $$ is a linear map. (ii) Write $$ \mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right) $$ and let $$ \mathbf{b}=\left(-a_{2}, a_{1}\right) \in \mathbb{R}^{2} $$. Show that $$ \mathcal{B}=\{\mathbf{a}, \mathbf{b}\} $$ is a basis for $$ \mathbb{R}^{2} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

(i) $$ \tau_{\mathbf{a}} $$가 선형 변환임을 보이기 위해, 두 가지 조건을 확인해야 합니다:

1. $$ \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x}) + \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{y}) $$ for 모든 $$ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{2} $$
2. $$ \tau_{\mathbf{a}}(c\mathbf{x}) = c\tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x}) $$ for 모든 $$ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{2} $$ 및 $$ c \in \mathbb{R} $$

먼저 첫 번째 조건을 확인해 보겠습니다.

$$
\tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = -(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{x} + \mathbf{y})}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}
$$
$$
= -\mathbf{x} - \mathbf{y} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{y}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}
$$
$$
= \left(-\mathbf{x} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}\right) + \left(-\mathbf{y} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{y}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}\right)
$$
$$
= \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x}) + \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{y})
$$

따라서 첫 번째 조건이 성립합니다.

이제 두 번째 조건을 확인해 보겠습니다.

$$
\tau_{\mathbf{a}}(c\mathbf{x}) = -c\mathbf{x} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot (c\mathbf{x})}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}
$$
$$
= -c\mathbf{x} + 2c \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}
$$
$$
= c\left(-\mathbf{x} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}\right)
$$
$$
= c\tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x})
$$

따라서 두 번째 조건도 성립합니다. 결론적으로, $$ \tau_{\mathbf{a}} $$는 선형 변환입니다.

(ii) $$ \mathbf{a} = (a_1, a_2) $$라고 하고, $$ \mathbf{b} = (-a_2, a_1) $$로 정의합니다. $$ \mathcal{B} = \{\mathbf{a}, \mathbf{b}\} $$가 $$ \mathbb{R}^{2} $$의 기저가 되기 위해서는 $$ \mathbf{a} $$와 $$ \mathbf{b} $$가 선형 독립이어야 합니다.

두 벡터가 선형 독립임을 보이기 위해, 다음과 같은 선형 결합이 0 벡터가 되는 경우를 고려합니다:

$$
c_1 \mathbf{a} + c_2 \mathbf{b} = \mathbf{0}
$$

즉,

$$
c_1 (a_1, a_2) + c_2 (-a_2, a_1) = (0, 0)
$$

이것은 두 개의 방정식으로 나눌 수 있습니다:

1. $$ c_1 a_1 - c_2 a_2 = 0 $$
2. $$ c_1 a_2 + c_2 a_1 = 0 $$

이 두 방정식을 행렬 형태로 나타내면 다음과 같습니다:

$$
\begin{pmatrix}
a_1 & -a_2 \
a_2 & a_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \
c_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \
0
\end{pmatrix}
$$

이 행렬의 행렬식은 다음과 같습니다:

$$
\text{det} = a_1^2 + a_2^2
$$

$$ \mathbf{a} $$가 0이 아니므로 $$ a_1^2 + a_2^2 > 0 $$입니다. 따라서 행렬식이 0이 아니므로, $$ c_1 = 0 $$ 및 $$ c_2 = 0 $$만이 해가 됩니다.

결론적으로, $$ \mathcal{B} = \{\mathbf{a}, \mathbf{b}\} $$는 $$ \mathbb{R}^{2} $$의 기저입니다.
(i) $$ \tau_{\mathbf{a}} $$는 선형 변환입니다. (ii) $$ \mathcal{B} = \{\mathbf{a}, \mathbf{b}\} $$는 $$ \mathbb{R}^{2} $$의 기저입니다.

Let a be a nonzero vector in . Define by

Let a be a nonzero vector of . Answer the following questions.
(i) Show that is a linear map.
(ii) Write and let . Show that is a basis
for .

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