Answer
**Problème 2 :**
L'argument de \( z = -\sqrt{3} + i\sqrt{3} \) est \( \frac{3\pi}{4} \).
**Problème 3 :**
L'argument de \( z = -2\left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \) est \( \frac{5\pi}{6} \).
Solution
### Problème 2
Pour le nombre complexe \( z = -\sqrt{3} + i\sqrt{3} \), nous souhaitons déterminer son argument.
1. **Identification des parties réelle et imaginaire :**
- Partie réelle (\( \text{Re}(z) \)) : \( -\sqrt{3} \)
- Partie imaginaire (\( \text{Im}(z) \)) : \( \sqrt{3} \)
2. **Calcul de l'argument :**
- L'argument \( \theta \) est donné par :
\[
\theta = \arctan\left( \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} \right) = \arctan\left( \frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} \right) = \arctan(-1)
\]
- Cependant, comme \( \text{Re}(z) < 0 \) et \( \text{Im}(z) > 0 \), \( z \) se trouve dans le **deuxième quadrant**. Ainsi, l'argument réel est :
\[
\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}
\]
**Réponse :**
\[
\text{arg}(z) = \frac{3\pi}{4}
\]
---
### Problème 3
Pour le nombre complexe \( z = -2\left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \), nous souhaitons déterminer son argument.
1. **Simplification de l'expression :**
\[
z = -2\left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) = 2\left( -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right)
\]
2. **Identification des parties réelle et imaginaire :**
- Partie réelle (\( \text{Re}(z) \)) : \( -2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \)
- Partie imaginaire (\( \text{Im}(z) \)) : \( 2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \)
3. **Calcul de l'argument :**
- L'argument \( \theta \) est donné par :
\[
\theta = \arctan\left( \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} \right) = \arctan\left( \frac{2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{-2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} \right) = \arctan\left( -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \right)
\]
- Puisque \( \text{Re}(z) < 0 \) et \( \text{Im}(z) > 0 \), \( z \) se trouve également dans le **deuxième quadrant**. Ainsi, l'argument réel est :
\[
\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
\]
**Réponse :**
\[
\text{arg}(z) = \frac{5\pi}{6}
\]
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