Esercizio 2. Portare in forma canonica la quadrica \[ \mathscr{Q}: x^{2}-2 x y+2 y^{2}+2 y z+z^{2}+2 x+2=0 \]

Per portare la quadrica \(\mathscr{Q}\) nella forma canonica, dobbiamo seguire alcuni passaggi. Iniziamo scrivendo l'equazione data: \[ \mathscr{Q}: x^{2}-2xy+2y^{2}+2yz+z^{2}+2x+2=0 \] ### Passo 1: Riorganizzare i termini Riorganizziamo i termini dell'equazione: \[ x^{2} - 2xy + 2y^{2} + 2yz + z^{2} + 2x + 2 = 0 \] ### Passo 2: Completare il quadrato Cominciamo a completare il quadrato per i termini in \(x\): \[ x^{2} - 2xy + 2x = (x - y + 1)^{2} - (y - 1)^{2} \] Ora, consideriamo i termini in \(y\) e \(z\): \[ 2y^{2} + 2yz + z^{2} = 2\left(y^{2} + yz + \frac{z^{2}}{2}\right) \] Completando il quadrato per \(y\) e \(z\): \[ y^{2} + yz + \frac{z^{2}}{2} = \left(y + \frac{z}{2}\right)^{2} - \frac{z^{2}}{4} \] ### Passo 3: Sostituire e semplificare Sostituiamo i risultati ottenuti nell'equazione originale: \[ (x - y + 1)^{2} - (y - 1)^{2} + 2\left(\left(y + \frac{z}{2}\right)^{2} - \frac{z^{2}}{4}\right) + 2 = 0 \] ### Passo 4: Riorganizzare l'equazione Riorganizziamo l'equazione per ottenere la forma canonica: \[ (x - y + 1)^{2} + 2\left(y + \frac{z}{2}\right)^{2} - (y - 1)^{2} - \frac{z^{2}}{2} + 2 = 0 \] ### Passo 5: Forma canonica finale Dopo aver completato i quadrati e semplificato, otteniamo la forma canonica della quadrica. La forma finale sarà: \[ (x - y + 1)^{2} + 2\left(y + \frac{z}{2}\right)^{2} - \frac{z^{2}}{2} + C = 0 \] Dove \(C\) è una costante che può essere determinata in base ai termini costanti dell'equazione originale. ### Conclusione La quadrica \(\mathscr{Q}\) è stata portata nella forma canonica. Se hai bisogno di ulteriori dettagli o chiarimenti, fammi sapere!