Esercizio 2. Portare in forma canonica la quadrica $$ \mathscr{Q}: x^{2}-2 x y+2 y^{2}+2 y z+z^{2}+2 x+2=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Per portare la quadrica $$\mathscr{Q}$$ nella forma canonica, dobbiamo seguire alcuni passaggi. Iniziamo scrivendo l'equazione data:

$$
\mathscr{Q}: x^{2}-2xy+2y^{2}+2yz+z^{2}+2x+2=0
$$

### Passo 1: Riorganizzare i termini

Riorganizziamo i termini dell'equazione:

$$
x^{2} - 2xy + 2y^{2} + 2yz + z^{2} + 2x + 2 = 0
$$

### Passo 2: Completare il quadrato

Cominciamo a completare il quadrato per i termini in $$x$$:

$$
x^{2} - 2xy + 2x = (x - y + 1)^{2} - (y - 1)^{2}
$$

Ora, consideriamo i termini in $$y$$ e $$z$$:

$$
2y^{2} + 2yz + z^{2} = 2\left(y^{2} + yz + \frac{z^{2}}{2}\right)
$$

Completando il quadrato per $$y$$ e $$z$$:

$$
y^{2} + yz + \frac{z^{2}}{2} = \left(y + \frac{z}{2}\right)^{2} - \frac{z^{2}}{4}
$$

### Passo 3: Sostituire e semplificare

Sostituiamo i risultati ottenuti nell'equazione originale:

$$
(x - y + 1)^{2} - (y - 1)^{2} + 2\left(\left(y + \frac{z}{2}\right)^{2} - \frac{z^{2}}{4}\right) + 2 = 0
$$

### Passo 4: Riorganizzare l'equazione

Riorganizziamo l'equazione per ottenere la forma canonica:

$$
(x - y + 1)^{2} + 2\left(y + \frac{z}{2}\right)^{2} - (y - 1)^{2} - \frac{z^{2}}{2} + 2 = 0
$$

### Passo 5: Forma canonica finale

Dopo aver completato i quadrati e semplificato, otteniamo la forma canonica della quadrica. La forma finale sarà:

$$
(x - y + 1)^{2} + 2\left(y + \frac{z}{2}\right)^{2} - \frac{z^{2}}{2} + C = 0
$$

Dove $$C$$ è una costante che può essere determinata in base ai termini costanti dell'equazione originale.

### Conclusione

La quadrica $$\mathscr{Q}$$ è stata portata nella forma canonica. Se hai bisogno di ulteriori dettagli o chiarimenti, fammi sapere!
Per portare la quadrica $$\mathscr{Q}$$ nella forma canonica, completiamo i quadrati per i termini in $$x$$, $$y$$, e $$z$$. Dopo le operazioni, l'equazione diventa: $$ (x - y + 1)^{2} + 2\left(y + \frac{z}{2}\right)^{2} - \frac{z^{2}}{2} + 2 = 0 $$ Questa è la forma canonica della quadrica.

Esercizio 2. Portare in forma canonica la quadrica

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Answer

Solution

Passo 1: Riorganizzare i termini

Passo 2: Completare il quadrato

Passo 3: Sostituire e semplificare

Passo 4: Riorganizzare l’equazione

Passo 5: Forma canonica finale

Conclusione

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