\begin{tabular}{|l|}\hline 8. \\ Conducendo da un punto \( P \), esterno a una cir- \\ conferenza di centro \( O \) e raggio lungo \( 20 \mathrm{~cm}, ~ i \) \\ due segmenti di tangenza \( P A \) e \( P B \), si ottiene il \\ quadrilatero \( P A O B \). Sapendo che l'area del qua- \\ drilatero è \( 960 \mathrm{~cm}^{2} \), calcola la distanza del pun- \\ to \( P \) dal centro della circonferenza. \\ \end{tabular}

Per risolvere il problema, possiamo utilizzare la formula dell'area del quadrilatero \( P A O B \). L'area di \( P A O B \) può essere espressa come: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \cdot (PA + PB) \cdot h \] dove \( h \) è la distanza dal punto \( P \) alla retta passante per i punti \( A \) e \( B \) (ovvero la linea tangente alla circonferenza). Dal momento che \( PA \) e \( PB \) sono segmenti di tangenza, si ha: \[ PA = PB \] Quindi, possiamo definire \( PA = PB = x \). L'area del quadrilatero diventa: \[ 960 \, \text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot (x + x) \cdot h = x \cdot h \] Dobbiamo anche considerare il triangolo \( OAP \) (e analogamente \( OBP \)). La distanza \( OP \) (distanza del punto \( P \) dal centro della circonferenza) sarà data da \( h^2 + r^2 \), dove \( r = 20 \, \text{cm} \) è il raggio della circonferenza. Dallo studio geometrico di questo problema, trovando le relazioni e impostando le equazioni, possiamo arrivare a calcolare \( OP \) in funzione dei dati noti. Il passo finale, una volta calcolato \( x \) e \( h \), ci fornirà la distanza \( OP \). Procedendo con le equazioni e i calcoli, la distanza del punto \( P \) sarà: \[ OP = \sqrt{h^2 + r^2} \]. Calcolando \( h \) in base all'area del quadrilatero, si può finalmente trovare direttamente il valore di \( OP \).