\begin{tabular}{|l|}\hline 8. \ Conducendo da un punto $$ P $$, esterno a una cir- \ conferenza di centro $$ O $$ e raggio lungo $$ 20 \mathrm{~cm}, ~ i $$ \ due segmenti di tangenza $$ P A $$ e $$ P B $$, si ottiene il \ quadrilatero $$ P A O B $$. Sapendo che l'area del qua- \ drilatero è $$ 960 \mathrm{~cm}^{2} $$, calcola la distanza del pun- \ to $$ P $$ dal centro della circonferenza. \ \end{tabular}

Question

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Para resolver el problema, seguiremos estos pasos:

**Datos conocidos:**
- Centro de la circunferencia $$ O $$.
- Radio de la circunferencia $$ r = 20 $$ cm.
- Punto externo $$ P $$.
- Segmentos de tangencia $$ PA $$ y $$ PB $$, con $$ PA = PB $$.
- Área del cuadrilátero $$ PAOB = 960 $$ cm².

**Paso 1: Relación entre $$ OP $$ y $$ PA $$**

Como $$ PA $$ es una tangente a la circunferencia en el punto $$ A $$, el segmento $$ OA $$ es perpendicular a $$ PA $$. Por lo tanto, el triángulo $$ PAO $$ es un triángulo rectángulo en $$ A $$.

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo $$ PAO $$:

$$
OP^2 = OA^2 + PA^2
$$

Sustituyendo $$ OA = 20 $$ cm:

$$
OP^2 = 20^2 + PA^2 \
OP^2 = 400 + PA^2 \
PA = \sqrt{OP^2 - 400}
$$

**Paso 2: Cálculo del área del cuadrilátero $$ PAOB $$**

El cuadrilátero $$ PAOB $$ está compuesto por dos triángulos rectángulos congruentes: $$ PAO $$ y $$ PBO $$. Cada uno de estos triángulos tiene un área de:

$$
\text{Área de } PAO = \frac{1}{2} \times OA \times PA = \frac{1}{2} \times 20 \times PA = 10 \times PA
$$

Dado que hay dos triángulos iguales:

$$
\text{Área total de } PAOB = 2 \times 10 \times PA = 20 \times PA
$$

Según el enunciado:

$$
20 \times PA = 960 \
PA = \frac{960}{20} = 48 \text{ cm}
$$

**Paso 3: Determinar $$ OP $$**

Volviendo a la relación del teorema de Pitágoras:

$$
PA = \sqrt{OP^2 - 400} \
48 = \sqrt{OP^2 - 400} \
48^2 = OP^2 - 400 \
2304 = OP^2 - 400 \
OP^2 = 2304 + 400 \
OP^2 = 2704 \
OP = \sqrt{2704} \
OP = 52 \text{ cm}
$$

**Conclusión:**
La distancia desde el punto $$ P $$ al centro de la circunferencia $$ O $$ es **52 cm**.
La distancia desde el punto $$ P $$ al centro de la circunferencia es **52 cm**.

8.

Conducendo da un punto , esterno a una cir-

conferenza di centro e raggio lungo

due segmenti di tangenza e , si ottiene il

quadrilatero . Sapendo che l'area del qua-

drilatero è , calcola la distanza del pun-

to dal centro della circonferenza.

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8. Conducendo da un punto , esterno a una cir- conferenza di centro e raggio lungo due segmenti di tangenza e , si ottiene il quadrilatero . Sapendo che l'area del qua- drilatero è , calcola la distanza del pun- to dal centro della circonferenza.