2. Simplificar: $$ \begin{array}{ll}\text { a) }\left(\frac{\cos x}{4 \operatorname{sen} x}\right)\left(\frac{8 \operatorname{sen} x}{\cos x}\right) & \text { d) } \frac{\operatorname{sen} x+3 \cos x}{\operatorname{sen}^{2} x+6 \operatorname{sen} x \cos x+9 \cos ^{2} x} \ \text { b) } \frac{\left(\frac{3 \sec x}{4 \operatorname{sen} x}\right)\left(\frac{8 \operatorname{sen} x}{9 \sec x}\right)}{\frac{\tan ^{2} x}{3 \operatorname{sen}^{2} x}} & \text { e) } \frac{\operatorname{sen}^{2} x-2 \operatorname{sen} x \cos x}{\operatorname{sen}^{2} x-4 \cos ^{2} x} \ \text { c) }\left(\frac{\csc x}{3 \operatorname{sen} x}\right)^{2}+\left(\frac{4 \csc x}{9 \operatorname{sen} x}\right) & \text { f) } \frac{\cos x}{\cos x-1}-\frac{1}{\cos x+1}\end{array} $$

Question

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Vamos a simplificar cada una de las expresiones dadas:

### a)
$$
\left(\frac{\cos x}{4 \operatorname{sen} x}\right)\left(\frac{8 \operatorname{sen} x}{\cos x}\right)
$$
Multiplicamos las fracciones:
$$
= \frac{\cos x \cdot 8 \operatorname{sen} x}{4 \operatorname{sen} x \cdot \cos x} = \frac{8}{4} = 2
$$

### b)
$$
\frac{\left(\frac{3 \sec x}{4 \operatorname{sen} x}\right)\left(\frac{8 \operatorname{sen} x}{9 \sec x}\right)}{\frac{\tan ^{2} x}{3 \operatorname{sen}^{2} x}}
$$
Primero simplificamos el numerador:
$$
= \frac{3 \sec x \cdot 8 \operatorname{sen} x}{4 \operatorname{sen} x \cdot 9 \sec x} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}
$$
Ahora, simplificamos el denominador:
$$
\frac{\tan^2 x}{3 \operatorname{sen}^2 x} = \frac{\frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x}}{3 \operatorname{sen}^2 x} = \frac{1}{3 \cos^2 x}
$$
Por lo tanto, la expresión completa es:
$$
\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3 \cos^2 x}} = 2 \cos^2 x
$$

### c)
$$
\left(\frac{\csc x}{3 \operatorname{sen} x}\right)^{2}+\left(\frac{4 \csc x}{9 \operatorname{sen} x}\right)
$$
Sustituyendo $$\csc x = \frac{1}{\operatorname{sen} x}$$:
$$
= \left(\frac{1}{3 \operatorname{sen} x}\right)^{2} + \left(\frac{4}{9 \operatorname{sen} x}\right) = \frac{1}{9 \operatorname{sen}^2 x} + \frac{4}{9 \operatorname{sen} x}
$$
Para sumar, necesitamos un denominador común:
$$
= \frac{1 + 4 \operatorname{sen} x}{9 \operatorname{sen}^2 x}
$$

### d)
$$
\frac{\operatorname{sen} x + 3 \cos x}{\operatorname{sen}^{2} x + 6 \operatorname{sen} x \cos x + 9 \cos^{2} x}
$$
El denominador se puede factorizar como:
$$
\operatorname{sen}^{2} x + 6 \operatorname{sen} x \cos x + 9 \cos^{2} x = (\operatorname{sen} x + 3 \cos x)^{2}
$$
Por lo tanto, la expresión se simplifica a:
$$
\frac{\operatorname{sen} x + 3 \cos x}{(\operatorname{sen} x + 3 \cos x)^{2}} = \frac{1}{\operatorname{sen} x + 3 \cos x}
$$

### e)
$$
\frac{\operatorname{sen}^{2} x - 2 \operatorname{sen} x \cos x}{\operatorname{sen}^{2} x - 4 \cos^{2} x}
$$
El numerador se puede factorizar como:
$$
\operatorname{sen}^{2} x - 2 \operatorname{sen} x \cos x = (\operatorname{sen} x - 2 \cos x)(\operatorname{sen} x)
$$
El denominador se puede factorizar como:
$$
\operatorname{sen}^{2} x - 4 \cos^{2} x = (\operatorname{sen} x - 2 \cos x)(\operatorname{sen} x + 2 \cos x)
$$
Por lo tanto, la expresión se simplifica a:
$$
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + 2 \cos x}
$$

### f)
$$
\frac{\cos x}{\cos x - 1} - \frac{1}{\cos x + 1}
$$
Encontramos un denominador común:
$$
= \frac{\cos x(\cos x + 1) - (\cos x - 1)}{(\cos x - 1)(\cos x + 1)} = \frac{\cos^2 x + \cos x - \cos x + 1}{\cos^2 x - 1} = \frac{\cos^2 x + 1}{\cos^2 x - 1}
$$
Esto se puede simplificar a:
$$
\frac{1}{\sin^2 x}
$$

### Resumen de las simplificaciones:
- a) $$2$$
- b) $$2 \cos^2 x$$
- c) $$\frac{1 + 4 \operatorname{sen} x}{9 \operatorname{sen}^2 x}$$
- d) $$\frac{1}{\operatorname{sen} x + 3 \cos x}$$
- e) $$\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + 2 \cos x}$$
- f) $$\frac{1}{\sin^2 x}$$
a) $$2$$ b) $$2 \cos^2 x$$ c) $$\frac{1 + 4 \operatorname{sen} x}{9 \operatorname{sen}^2 x}$$ d) $$\frac{1}{\operatorname{sen} x + 3 \cos x}$$ e) $$\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + 2 \cos x}$$ f) $$\frac{1}{\sin^2 x}$$

Simplificar:

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