81. Fiabilidad y Duración usando Distribuciones Poisson y Normal El número de errores cometidos en la producción de un software sigue una distribución Poisson con una media de 1.5 errores por módulo. La duración para corregir cada error sigue una distribución normal con una media de 4 horas y una desviación estándar de 1 hora. a) Calcula la probabilidad de que un módulo tenga exactamente 2 errores. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total para corregir todos los errores en un módulo sea menor a 5 horas? c) Si se desarrollan 10 módulos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 de ellos tengan más de 2 errores y que el tiempo total para corregir esos errores sea superior a 10 horas?

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Para resolver los problemas planteados, utilizaremos las propiedades de la distribución Poisson y la distribución normal. ### a) Probabilidad de que un módulo tenga exactamente 2 errores La distribución Poisson se define como: $$ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$ donde: - $$ \lambda $$ es la media (en este caso, 1.5 errores por módulo), - $$ k $$ es el número de errores (en este caso, 2), - $$ e $$ es la base del logaritmo natural (aproximadamente 2.71828). Sustituyendo los valores: $$ P(X = 2) = \frac{e^{-1.5} \cdot 1.5^2}{2!} $$ Calculamos: 1. $$ e^{-1.5} \approx 0.22313 $$ 2. $$ 1.5^2 = 2.25 $$ 3. $$ 2! = 2 $$ Por lo tanto: $$ P(X = 2) = \frac{0.22313 \cdot 2.25}{2} \approx \frac{0.50104}{2} \approx 0.25052 $$ La probabilidad de que un módulo tenga exactamente 2 errores es aproximadamente **0.2505** o **25.05%**. ### b) Probabilidad de que el tiempo total para corregir todos los errores en un módulo sea menor a 5 horas El tiempo total para corregir los errores sigue una distribución normal, ya que la suma de variables aleatorias normales es también normal. Si $$ N $$ es el número de errores (que sigue una distribución Poisson con media 1.5) y cada error tiene un tiempo de corrección $$ T_i $$ que sigue una distribución normal $$ N(4, 1) $$, el tiempo total $$ T $$ para corregir todos los errores es: $$ T = T_1 + T_2 + ... + T_N $$ La media del tiempo total $$ E[T] $$ y la varianza $$ Var[T] $$ se pueden calcular como: - La media del tiempo total es: $$ E[T] = E[N] \cdot E[T_i] = 1.5 \cdot 4 = 6 \text{ horas} $$ - La varianza del tiempo total es: $$ Var[T] = E[N] \cdot Var[T_i] + Var[N] \cdot (E[T_i])^2 $$ Donde: - $$ Var[T_i] = 1^2 = 1 $$ - $$ Var[N] = \lambda = 1.5 $$ Por lo tanto: $$ Var[T] = 1.5 \cdot 1 + 1.5 \cdot 4^2 = 1.5 + 1.5 \cdot 16 = 1.5 + 24 = 25.5 $$ Ahora, $$ T $$ sigue una distribución normal $$ N(6, \sqrt{25.5}) $$. Para encontrar la probabilidad de que $$ T < 5 $$: 1. Calculamos la desviación estándar: $$ \sigma_T = \sqrt{25.5} \approx 5.05 $$ 2. Normalizamos: $$ Z = \frac{5 - 6}{5.05} \approx \frac{-1}{5.05} \approx -0.198 $$ 3. Buscamos $$ P(Z < -0.198) $$ en la tabla de la distribución normal estándar. Esto nos da aproximadamente: $$ P(Z < -0.198) \approx 0.421 $$ La probabilidad de que el tiempo total para corregir todos los errores en un módulo sea menor a 5 horas es aproximadamente **0.421** o **42.1%**. ### c) Probabilidad de que al menos 3 de 10 módulos tengan más de 2 errores y que el tiempo total para corregir esos errores sea superior a 10 horas Primero, calculamos la probabilidad de que un módulo tenga más de 2 errores: $$ P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) $$ Calculamos $$ P(X = 0) $$ y $$ P(X = 1) $$: $$ P(X = 0) = \frac{e^{-1.5} \cdot 1.5^0}{0!} = e^{-1.5} \approx 0.22313 $$ $$ P(X = 1) = \frac{e^{-1.5} \cdot 1.5^1}{1!} = e^{-1.5} \cdot 1.5 \approx 0.33469 $$ Entonces: $$ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0.22313 + 0.33469 + 0.25052 \approx 0.80834 $$ Por lo tanto: $$ P(X > 2) = 1 - 0.80834 \approx 0.19166 $$ Ahora, para 10 módulos, la probabilidad de que al menos 3 de ellos tengan más de 2 errores sigue una distribución binomial $$ B(n=10, p=0.19166) $$. Calculamos $$ P(Y \geq 3) $$: $$ P(Y \geq 3) = 1 - P(Y < 3) = 1 - (P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2)) $$ Calculamos cada uno: $$ P(Y = k) = \binom{10}{k} (0.19166)^k (0.80834)^{10-k} $$ Calculamos $$ P(Y = 0) $$, $$ P(Y = 1) $$, y $$ P(Y = 2) $$: 1. $$ P(Y = 0) = \binom{10}{0} (0.19166)^0 (0.80834)^{10} \approx 0.134 $$ 2. $$ P(Y = 1) = \binom{10}{1} (0.19166)^1 (0.80834)^9 \approx 0.221 $$ 3. $$ P(Y = 2) = \binom{10}{2} (0.19166)^2 (0.80834)^8 \approx 0.227 $$ Sumamos: $$ P(Y < 3) \approx 0.134 + 0.221 + 0.227 \approx 0.582 $$ Por lo tanto: $$ P(Y \geq 3) \approx 1 - 0.582 \approx 0.418 $$ Ahora, para el tiempo total de corrección, ya sabemos que la media es 6 horas. Para que el tiempo total sea superior a 10 horas, calculamos: $$ P(T > 10) = 1 - P(T \leq 10) $$ Normalizamos: $$ Z = \frac{10 - 6}{5.05} \approx 0.793 $$ Buscamos $$ P(Z \leq 0.793) $$ en la tabla de la normal estándar, que es aproximadamente 0.785. Por lo tanto: $$ P(T > 10) \approx 1 - 0.785 \approx 0.215 $$ Finalmente, la probabilidad conjunta de que al menos 3 módulos tengan más de 2 errores y que el tiempo total para corregir esos errores sea superior a 10 horas es: $$ P(\text{al menos 3 errores}) \cdot P(T > 10) \approx 0.418 \cdot 0.215 \approx 0.090 $$ La probabilidad de que al menos 3 de los 10 módulos tengan más de 2 errores y que el tiempo total para corregir esos errores sea superior a 10 horas es aproximadamente **0.090** o **9.0%**. a) La probabilidad de que un módulo tenga exactamente 2 errores es aproximadamente 0.2505 o 25.05%. b) La probabilidad de que el tiempo total para corregir todos los errores en un módulo sea menor a 5 horas es aproximadamente 0.421 o 42.1%. c) La probabilidad de que al menos 3 de 10 módulos tengan más de 2 errores y que el tiempo total para corregir esos errores sea superior a 10 horas es aproximadamente 0.090 o 9.0%.

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