12. Діагональ прямокутника \( \quad \) * 1 балл дорівнює 10 см і утворює з його стороною кут \( 30^{\circ} \). Знайдіть меншу сторону цього прямокутника.

Для решения задачи начнем с извлечения известных условий: 1. Длина диагонали прямоугольника \( d = 10 \) см. 2. Угол между диагональю и одной из сторон \( \alpha = 30^{\circ} \). Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) (меньшая сторона) и \( b \) (большая сторона). По свойству прямоугольника, диагональ можно выразить через стороны с помощью теоремы Пифагора: \[ d^2 = a^2 + b^2 \] Также, используя тригонометрию, мы можем выразить стороны через диагональ и угол: \[ a = d \cdot \cos(\alpha) \] \[ b = d \cdot \sin(\alpha) \] Теперь подставим известные значения в формулы. Сначала найдем \( a \): \[ a = 10 \cdot \cos(30^{\circ}) \] Значение \( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим это значение: \[ a = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \] Теперь вычислим \( 5\sqrt{3} \): \[ 5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 \approx 8.66 \text{ см} \] Таким образом, меньшая сторона прямоугольника составляет примерно \( 8.66 \) см. Теперь проверим, можем ли мы найти большую сторону \( b \): \[ b = 10 \cdot \sin(30^{\circ}) \] Значение \( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \): \[ b = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см} \] Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна \( 5\sqrt{3} \) см, что примерно равно \( 8.66 \) см. Ответ: меньшая сторона прямоугольника составляет \( 5\sqrt{3} \) см или примерно \( 8.66 \) см.