4. Usa la fórmula de interés compuesto para resolver el siguiente problema: Supón que se invierten \( \$ 255,000 \) a una tasa de interés de \( 10 \% \) compuesto mensualmente. Encuentra la cantidad acumulada después de 15,30 y 60 años.

Para resolver este problema, utilizaremos la fórmula del interés compuesto, que es: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \] donde: - \( A \) es la cantidad acumulada después de \( t \) años, - \( P \) es el capital inicial (en este caso, \( \$ 255,000 \)), - \( r \) es la tasa de interés anual (en este caso, \( 10\% = 0.10 \)), - \( n \) es el número de veces que se capitaliza el interés por año (en este caso, \( 12 \) para capitalización mensual), - \( t \) es el número de años. Ahora, calcularemos la cantidad acumulada para \( t = 15 \), \( t = 30 \) y \( t = 60 \) años. ### Cálculo para \( t = 15 \) años: \[ A = 255000 \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{12 \times 15} \] Calculamos: \[ A = 255000 \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{180} \] \[ A = 255000 \left(1 + 0.0083333\right)^{180} \] \[ A = 255000 \left(1.0083333\right)^{180} \] \[ A \approx 255000 \times 4.439 \] \[ A \approx 1,131,000.00 \] ### Cálculo para \( t = 30 \) años: \[ A = 255000 \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{12 \times 30} \] Calculamos: \[ A = 255000 \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{360} \] \[ A = 255000 \left(1.0083333\right)^{360} \] \[ A \approx 255000 \times 17.449 \] \[ A \approx 4,454,000.00 \] ### Cálculo para \( t = 60 \) años: \[ A = 255000 \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{12 \times 60} \] Calculamos: \[ A = 255000 \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{720} \] \[ A = 255000 \left(1.0083333\right)^{720} \] \[ A \approx 255000 \times 104.713 \] \[ A \approx 26,706,000.00 \] ### Resumen de resultados: - Cantidad acumulada después de 15 años: **\$ 1,131,000.00** - Cantidad acumulada después de 30 años: **\$ 4,454,000.00** - Cantidad acumulada después de 60 años: **\$ 26,706,000.00**