Ecris sans radical au dénom nombres suivants : \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} ; \frac{4}{2+\sqrt{3}} ; \frac{-3+\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3} ; \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{2} \)

Pour la première expression \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \), on va multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \). Cela donne : \[ \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{2-3} = -(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 \] En développant : \[ -(2 + 3 + 2\sqrt{6}) = -5 - 2\sqrt{6} \] Pour la seconde expression \( \frac{4}{2+\sqrt{3}} \), on multiplie par le conjugué \( 2-\sqrt{3} \) : \[ \frac{4(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4-3} = 8 - 4\sqrt{3} \] Pour la troisième expression \( \frac{-3+\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3} \), on multiplie par le conjugué \( 2\sqrt{2}-3 \): \[ \frac{(-3+\sqrt{5})(2\sqrt{2}-3)}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)} = \frac{(-6\sqrt{2}+9+2\sqrt{10}-3\sqrt{5})}{8 - 9} = -( -6\sqrt{2}+9+2\sqrt{10}-3\sqrt{5}) = 6\sqrt{2}-9-2\sqrt{10}+3\sqrt{5} \] Enfin, pour \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{2} \), on commence par mettre au même dénominateur : \[ \frac{2\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)} - \frac{\sqrt{3}-1}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{2\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{2(\sqrt{3}-1)} \] On multiplie également par le conjugué \( \sqrt{3}+1 \): \[ \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{2((\sqrt{3})^2-1^2)} = \frac{(3+2\sqrt{3}+1)}{2(3-1)} = \frac{4+2\sqrt{3}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \] Ainsi, chaque expression a été écrite sans radical au dénominateur. 🎉