Lors d'une conférence organisée dans un lycée, le médecin chef de l'hôpital a donne , autres les informations suivantes: * Une épidémie a frappé les habitants d'une ville. Le nombre de personnes malades en fonctic du temps, en jour, peut être modélisé par la fonction \( M \), définie sur l'intervalle \( [0 ; 30] \) par: \( M(t)=-t^{3}+30 t^{2}, \cdots \) Une éleve ayant assisté a cette conférence désire savoir: en combien de jours cette ville atteindra le plus grand nombre de malades ? Ne sachant pas comment s'y prendre, elle te sollicite. En te basant sur tes connaissances mathématiques au programme, aide-la à répondre à sa préoccupation

Pour déterminer en combien de jours la ville atteindra le plus grand nombre de malades, nous devons trouver le **maximum** de la fonction \( M(t) = -t^{3} + 30 t^{2} \) sur l'intervalle \( [0 ; 30] \). ### Étapes de la résolution : 1. **Calcul de la dérivée de \( M(t) \) :** La dérivée de \( M(t) \) par rapport au temps \( t \) nous permet de déterminer les points critiques (où la pente est nulle) qui peuvent correspondre à un maximum ou un minimum. \[ M'(t) = \frac{d}{dt}(-t^{3} + 30 t^{2}) = -3t^{2} + 60t \] 2. **Trouver les points critiques :** Pour trouver les valeurs de \( t \) où \( M'(t) = 0 \), résolvons l'équation : \[ -3t^{2} + 60t = 0 \\ t(-3t + 60) = 0 \] Les solutions sont : \[ t = 0 \quad \text{ou} \quad -3t + 60 = 0 \Rightarrow t = 20 \] 3. **Déterminer la nature des points critiques :** - **À \( t = 0 \) :** \[ M(0) = -0^{3} + 30 \times 0^{2} = 0 \] - **À \( t = 20 \) :** \[ M(20) = -(20)^{3} + 30 \times (20)^{2} = -8000 + 12000 = 4000 \] - **À \( t = 30 \) :** \[ M(30) = -(30)^{3} + 30 \times (30)^{2} = -27000 + 27000 = 0 \] On observe que \( M(20) = 4000 \) est la valeur maximale sur l'intervalle \( [0 ; 30] \). ### Conclusion : La ville atteindra le **plus grand nombre de malades au bout de 20 jours**.