Proposição 1.15 Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos de um espaço \( E \). Vale a igualdade \[ A-B=A \cap B^{\mathrm{C}} \]

Para demonstrar a proposição \( A - B = A \cap B^{\mathrm{C}} \), vamos analisar ambos os lados da igualdade e mostrar que eles são iguais. ### Definições 1. **Diferença de Conjuntos**: A diferença \( A - B \) é o conjunto de todos os elementos que estão em \( A \) mas não estão em \( B \). Formalmente: \[ A - B = \{ x \in A \mid x \notin B \} \] 2. **Complemento de um Conjunto**: O complemento \( B^{\mathrm{C}} \) é o conjunto de todos os elementos que não estão em \( B \). Formalmente: \[ B^{\mathrm{C}} = \{ x \in E \mid x \notin B \} \] 3. **Interseção de Conjuntos**: A interseção \( A \cap B^{\mathrm{C}} \) é o conjunto de todos os elementos que estão em \( A \) e também estão em \( B^{\mathrm{C}} \). Formalmente: \[ A \cap B^{\mathrm{C}} = \{ x \in A \mid x \in B^{\mathrm{C}} \} \] ### Demonstração Agora, vamos mostrar que \( A - B \) é igual a \( A \cap B^{\mathrm{C}} \). 1. **Lado Esquerdo: \( A - B \)** Um elemento \( x \) pertence a \( A - B \) se e somente se: \[ x \in A \quad \text{e} \quad x \notin B \] 2. **Lado Direito: \( A \cap B^{\mathrm{C}} \)** Um elemento \( x \) pertence a \( A \cap B^{\mathrm{C}} \) se e somente se: \[ x \in A \quad \text{e} \quad x \in B^{\mathrm{C}} \quad (\text{ou seja, } x \notin B) \] ### Conclusão Ambas as expressões definem o mesmo conjunto de elementos: aqueles que estão em \( A \) e não estão em \( B \). Portanto, podemos concluir que: \[ A - B = A \cap B^{\mathrm{C}} \] Assim, a proposição está demonstrada.