\( (2,0) \) Se \( \left\{\begin{array}{l}27^{x}=9^{y} \\ \log _{y} x=2\end{array}\right. \), calcule os valores de \( x+ \)

Vamos resolver o sistema dado pelas equações \( 27^{x} = 9^{y} \) e \( \log_{y} x = 2 \). Primeiro, podemos reescrever as potências na primeira equação. Sabemos que \( 27 = 3^3 \) e \( 9 = 3^2 \), então podemos escrever: \[ 27^{x} = (3^3)^{x} = 3^{3x} \quad \text{e} \quad 9^{y} = (3^2)^{y} = 3^{2y} \] Igualando as potências de 3, temos: \[ 3^{3x} = 3^{2y} \implies 3x = 2y \implies y = \frac{3}{2}x \] Agora, substituímos \( y \) na segunda equação: \[ \log_{y} x = 2 \implies \frac{\log x}{\log y} = 2 \implies \log x = 2 \log y \] Substituindo \( y \): \[ \log x = 2 \log \left( \frac{3}{2}x \right) \] Usando a propriedade dos logaritmos: \[ \log x = 2 \left( \log \frac{3}{2} + \log x \right) \implies \log x = 2 \log \frac{3}{2} + 2 \log x \implies \log x - 2 \log x = 2 \log \frac{3}{2} \] Temos então: \[ -\log x = 2 \log \frac{3}{2} \implies \log x = -2 \log \frac{3}{2} \implies \log x = \log \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = \log \frac{9}{4} \] Portanto: \[ x = \frac{9}{4} \] Agora, substituindo \( x \) na relação que temos para \( y \): \[ y = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{8} \] Assim, somando \( x + y \): \[ x + y = \frac{9}{4} + \frac{27}{8} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum: \[ x + y = \frac{18}{8} + \frac{27}{8} = \frac{45}{8} \] Portanto, o valor de \( x + y \) é \( \frac{45}{8} \).