2. Найти уравнение касательной и нормали к поверхности $$ x^{2}+x y+2 y^{2}+5 z^{2}=24 $$ в точке $$ (1,1,2) $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $$ x^{2} + x y + 2 y^{2} + 5 z^{2} = 24 $$ в точке $$ (1,1,2) \ воспользуемся следующим алгоритмом.

### 1. Нахождение градиента поверхности

Сначала вычислим градиент функции $$ F(x, y, z) = x^{2} + x y + 2 y^{2} + 5 z^{2} - 24 $$:

$$
\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) = (2x + y,\ x + 4y,\ 10z)
$$

В точке $$ (1,1,2) $$:

$$
\nabla F(1,1,2) = (2 \cdot 1 + 1,\ 1 + 4 \cdot 1,\ 10 \cdot 2) = (3,\ 5,\ 20)
$$

### 2. Уравнение касательной плоскости

Касательная плоскость в точке $$ (x_0, y_0, z_0) $$ определяется как:

$$
\nabla F(x_0, y_0, z_0) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0
$$

Подставляя найденный градиент и координаты точки:

$$
3(x - 1) + 5(y - 1) + 20(z - 2) = 0
$$

Раскрывая скобки:

$$
3x + 5y + 20z = 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 20 \cdot 2
$$
$$
3x + 5y + 20z = 48
$$

Таким образом, уравнение касательной плоскости:

$$
3x + 5y + 20z = 48
$$

### 3. Уравнения нормали

Нормаль к поверхности в данной точке направлена вдоль градиента. Параметрические уравнения прямой нормали можно записать следующим образом:

$$
\begin{cases}
x = 1 + 3t \
y = 1 + 5t \
z = 2 + 20t \
\end{cases}
$$

где $$ t $$ — параметр.

### Итог

- **Уравнение касательной плоскости:**
  
  $$
  3x + 5y + 20z = 48
  $$

- **Параметрические уравнения нормали:**
  
  $$
  \begin{cases}
  x = 1 + 3t \
  y = 1 + 5t \
  z = 2 + 20t \
  \end{cases}
  $$
Уравнение касательной плоскости: $$3x + 5y + 20z = 48$$. Уравнения нормали: $$x = 1 + 3t$$, $$y = 1 + 5t$$, $$z = 2 + 20t$$.

Найти уравнение касательной и нормали к поверхности в
точке .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Calculus Questions

Найти уравнение касательной и нормали к поверхности в точке .