L'altezza CH di un trapezio rettangolo $$ A B C D $$ d uguale alla base minore $$ D C $$ ed è lunga 8 cm . Determina sulla diagonale minore $$ A C $$ un punto $$ P $$ tale che sia verificata l'uguaglianza: $$ 2 \overline{C P}^{2}-2 \overline{D P}^{2}=\frac{4}{11}\left(3 \overline{A P}^{2}+\overline{P H}^{2}\right) $$. UN PASSO IN PIŨ Se la base maggiore è i $$ \frac{7}{4} $$ della

Question

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Per risolvere il problema, iniziamo a estrarre le condizioni note.

1. Abbiamo un trapezio rettangolo $$ ABCD $$ con:
   - Altezza $$ CH = 8 \, \text{cm} $$
   - Base minore $$ DC = 8 \, \text{cm} $$ (dato che l'altezza è uguale alla base minore)
   - Base maggiore $$ AB = \frac{7}{4} \cdot DC = \frac{7}{4} \cdot 8 = 14 \, \text{cm} $$

2. Dobbiamo determinare un punto $$ P $$ sulla diagonale minore $$ AC $$ tale che sia verificata l'uguaglianza:
   $$
   2 \overline{CP}^{2} - 2 \overline{DP}^{2} = \frac{4}{11} \left( 3 \overline{AP}^{2} + \overline{PH}^{2} \right)
   $$

### Passo 1: Definire le coordinate dei punti

Assumiamo le seguenti coordinate per i punti del trapezio:
- $$ D(0, 0) $$
- $$ C(8, 0) $$
- $$ H(8, 8) $$
- $$ A(0, 8) $$
- $$ B(14, 8) $$

La diagonale $$ AC $$ può essere descritta parametrizzando il punto $$ P $$ sulla retta che unisce $$ A $$ e $$ C $$.

### Passo 2: Parametrizzare il punto $$ P $$

Il punto $$ P $$ sulla diagonale $$ AC $$ può essere espresso come:
$$
P(x, y) = (8t, 8(1-t)) \quad \text{con } t \in [0, 1]
$$
dove $$ t $$ è un parametro che varia da 0 a 1.

### Passo 3: Calcolare le distanze

Ora calcoliamo le distanze necessarie:
- $$ \overline{CP} = \sqrt{(8 - 8t)^2 + (0 - 8(1-t))^2} = \sqrt{(8(1-t))^2 + (8t)^2} = 8\sqrt{(1-t)^2 + t^2} = 8\sqrt{1 - 2t + 2t^2} $$
- $$ \overline{DP} = \sqrt{(8t - 0)^2 + (8(1-t) - 0)^2} = \sqrt{(8t)^2 + (8(1-t))^2} = 8\sqrt{t^2 + (1-t)^2} = 8\sqrt{1 - 2t + 2t^2} $$

### Passo 4: Sostituire le distanze nell'equazione

Sostituiamo le distanze nell'equazione data:
$$
2(8\sqrt{1 - 2t + 2t^2})^2 - 2(8\sqrt{1 - 2t + 2t^2})^2 = \frac{4}{11} \left( 3(8t)^2 + (8(1-t) - 8)^2 \right)
$$

### Passo 5: Risolvere l'equazione

Semplifichiamo l'equazione e risolviamo per $$ t $$:
$$
0 = \frac{4}{11} \left( 3(64t^2) + (8(1-t) - 8)^2 \right)
$$

Ora calcoliamo i termini e risolviamo l'equazione. Procediamo con i calcoli.

### Calcolo delle distanze e risoluzione

Calcoliamo i termini:
- $$ (8(1-t) - 8)^2 = (8 - 8t - 8)^2 = (-8t)^2 = 64t^2 $$

Sostituiamo:
$$
0 = \frac{4}{11} \left( 192t^2 + 64t^2 \right) = \frac{4}{11} \cdot 256t^2
$$

Da qui, possiamo vedere che l'equazione è soddisfatta per $$ t = 0 $$ o $$ t = 1 $$, che corrispondono ai punti $$ A $$ e $$ C $$.

### Conclusione

Il punto $$ P $$ può essere qualsiasi punto sulla diagonale $$ AC $$ che soddisfa l'equazione, ma i valori estremi sono $$ A $$ e $$ C $$. Se desideri un punto specifico, possiamo scegliere un valore intermedio per $$ t $$ (ad esempio $$ t = 0.5 $$) e calcolare le coordinate di $$ P $$.

Se hai bisogno di ulteriori dettagli o di un punto specifico, fammelo sapere!
Per determinare il punto $$ P $$ sulla diagonale $$ AC $$ che soddisfa l'equazione $$ 2 \overline{CP}^{2} - 2 \overline{DP}^{2} = \frac{4}{11} \left( 3 \overline{AP}^{2} + \overline{PH}^{2} \right) $$, si può risolvere l'equazione parametrizzando $$ P $$ come $$ (8t, 8(1-t)) $$ con $$ t \in [0, 1] $$. Dopo le calcolate, si trova che l'equazione è soddisfatta per $$ t = 0 $$ e $$ t = 1 $$, corrispondenti ai punti $$ A $$ e $$ C $$.

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