În \( \mathbf{R}^{4} \) se consideră baza \( F=\left\{f_{1}=(1,-1,0,0), f_{2}=(1,1,0,0), f_{3}=(0,0,1,1), f_{4}=(0,0,-1,1)\right\} \). Să se determine duala bazei \( F \) şi coordonatele vectorului \( w=(0,-2,5,-1) \) în raport cu baza \( F \).

Pentru a determina duala bazei \( F \) și coordonatele vectorului \( w = (0, -2, 5, -1) \) în raport cu baza \( F \), urmează pașii de mai jos: ### 1. Determinarea Dualei Bazei \( F \) Baza \( F \) este dată de vectorii: \[ f_1 = (1, -1, 0, 0), \quad f_2 = (1, 1, 0, 0), \quad f_3 = (0, 0, 1, 1), \quad f_4 = (0, 0, -1, 1) \] Pentru a găsi duala bazei \( F \), notată \( F^* = \{f^1, f^2, f^3, f^4\} \), trebuie să determinăm funcționale liniare astfel încât: \[ f^i(f_j) = \delta_{ij} \quad \text{pentru toate } i, j = 1, 2, 3, 4 \] unde \( \delta_{ij} \) este simbolul lui Kronecker. Construim matricea \( F \) având vectorii bazei \( F \) ca și coloane: \[ F = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Inversa matricei \( F \) ne va oferi duala bazei \( F^* \). Observăm că \( F \) este o matrice bloc diagonal, deci inversa se calculează bloc cu bloc. **Calculul inverselor blocurilor:** 1. **Blocul \( A \):** \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \text{det}(A) = 2 \] \[ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] 2. **Blocul \( B \):** \[ B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \text{det}(B) = 2 \] \[ B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] Astfel, inversa matricei \( F \) este: \[ F^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \] Duala bazei \( F \) este constituită din rândurile lui \( F^{-1} \): \[ f^1 = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad f^2 = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad f^3 = \left( 0, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right), \quad f^4 = \left( 0, 0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \] ### 2. Determinarea Coordonatelor lui \( w \) în Baza \( F \) Pentru a găsi coordonatele vectorului \( w \) în baza \( F \), scriem: \[ w = c_1 f_1 + c_2 f_2 + c_3 f_3 + c_4 f_4 \] unde \( (c_1, c_2, c_3, c_4) \) sunt coordonatele căutate. Acest sistem se poate scrie sub forma matricială: \[ [F] \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} \] Astfel: \[ \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \end{pmatrix} = F^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 0 + (-\frac{1}{2}) \cdot (-2) + 0 \cdot 5 + 0 \cdot (-1) \\ \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (-2) + 0 \cdot 5 + 0 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (-1) \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + (-\frac{1}{2}) \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \] ### **Răspuns Final** Duala bazei \( F \) este: \[ f^1 = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad f^2 = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad f^3 = \left( 0, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right), \quad f^4 = \left( 0, 0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \] Coordonatele vectorului \( w \) în baza \( F \) sunt: \[ (1, -1, 2, -3) \]