În $$ \mathbf{R}^{4} $$ se consideră baza $$ F=\left\{f_{1}=(1,-1,0,0), f_{2}=(1,1,0,0), f_{3}=(0,0,1,1), f_{4}=(0,0,-1,1)\right\} $$. Să se determine duala bazei $$ F $$ şi coordonatele vectorului $$ w=(0,-2,5,-1) $$ în raport cu baza $$ F $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a determina duala bazei $$ F $$ și coordonatele vectorului $$ w = (0, -2, 5, -1) $$ în raport cu baza $$ F $$, urmează pașii de mai jos:

### 1. Determinarea Dualei Bazei $$ F $$

Baza $$ F $$ este dată de vectorii:
$$
f_1 = (1, -1, 0, 0), \quad f_2 = (1, 1, 0, 0), \quad f_3 = (0, 0, 1, 1), \quad f_4 = (0, 0, -1, 1)
$$

Pentru a găsi duala bazei $$ F $$, notată $$ F^* = \{f^1, f^2, f^3, f^4\} $$, trebuie să determinăm funcționale liniare astfel încât:
$$
f^i(f_j) = \delta_{ij} \quad \text{pentru toate } i, j = 1, 2, 3, 4
$$
unde $$ \delta_{ij} $$ este simbolul lui Kronecker.

Construim matricea $$ F $$ având vectorii bazei $$ F $$ ca și coloane:
$$
F = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \
-1 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -1 \
0 & 0 & 1 & 1 \
\end{pmatrix}
$$

Inversa matricei $$ F $$ ne va oferi duala bazei $$ F^* $$. Observăm că $$ F $$ este o matrice bloc diagonal, deci inversa se calculează bloc cu bloc.

**Calculul inverselor blocurilor:**

1. **Blocul $$ A $$:**
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \text{det}(A) = 2
$$
$$
A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}
$$

2. **Blocul $$ B $$:**
$$
B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \text{det}(B) = 2
$$
$$
B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 \end{pmatrix}
$$

Astfel, inversa matricei $$ F $$ este:
$$
F^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \
0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \
0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \
\end{pmatrix}
$$

Duala bazei $$ F $$ este constituită din rândurile lui $$ F^{-1} $$:
$$
f^1 = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad
f^2 = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad
f^3 = \left( 0, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right), \quad
f^4 = \left( 0, 0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)
$$

### 2. Determinarea Coordonatelor lui $$ w $$ în Baza $$ F $$

Pentru a găsi coordonatele vectorului $$ w $$ în baza $$ F $$, scriem:
$$
w = c_1 f_1 + c_2 f_2 + c_3 f_3 + c_4 f_4
$$
unde $$ (c_1, c_2, c_3, c_4) $$ sunt coordonatele căutate.

Acest sistem se poate scrie sub forma matricială:
$$
[F] \begin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ c_3 \ c_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ -2 \ 5 \ -1 \end{pmatrix}
$$
Astfel:
$$
\begin{pmatrix}
c_1 \
c_2 \
c_3 \
c_4
\end{pmatrix}
= F^{-1} \begin{pmatrix} 0 \ -2 \ 5 \ -1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} \cdot 0 + (-\frac{1}{2}) \cdot (-2) + 0 \cdot 5 + 0 \cdot (-1) \
\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (-2) + 0 \cdot 5 + 0 \cdot (-1) \
0 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (-1) \
0 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + (-\frac{1}{2}) \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (-1)
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 \
-1 \
2 \
-3
\end{pmatrix}
$$

### **Răspuns Final**

Duala bazei $$ F $$ este:
$$
f^1 = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad
f^2 = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad
f^3 = \left( 0, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right), \quad
f^4 = \left( 0, 0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)
$$

Coordonatele vectorului $$ w $$ în baza $$ F $$ sunt:
$$
(1, -1, 2, -3)
$$
Duala bazei $$ F $$ este: $$ f^1 = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad f^2 = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0 \right), \quad f^3 = \left( 0, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right), \quad f^4 = \left( 0, 0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) $$ Coordonatele vectorului $$ w = (0, -2, 5, -1) $$ în baza $$ F $$ sunt: $$ (1, -1, 2, -3) $$

În se consideră baza .
Să se determine duala bazei şi coordonatele vectorului în raport cu baza .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

[

Related Questions

Latest Other Questions

În se consideră baza . Să se determine duala bazei şi coordonatele vectorului în raport cu baza .