Esercizio 3. Sia dato l'endomorfismo di \( \mathbb{R}^{4} \) definito da \[ F(x, y, z, t)=(x+2 y+2 z+4 t ; y ;-y-2 t ; y+2 t) \] Calcolare la dimensione ed una base di nucleo e immagine di \( F \). Determinare, se esiste, una base di \( \mathbb{R}^{4} \) di autovettori per \( F \).

Per determinare la dimensione e una base del nucleo e dell'immagine dell'endomorfismo \( F \), iniziamo a scrivere la matrice associata a \( F \) rispetto alla base canonica. La mappa \( F \) può essere rappresentata come: \[ F(x, y, z, t) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} \] Calcoliamo il nucleo di \( F \) cercando le soluzioni dell'equazione \( F(v) = 0 \): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Questo sistema si riduce a: 1. \( x + 2y + 2z + 4t = 0 \) 2. \( y = 0 \) 3. \( -y - 2t = 0 \) 4. \( y + 2t = 0 \) Da \( y = 0 \), si ha \( -2t = 0 \) quindi \( t = 0 \) e \( y = 0 \). Dalla prima equazione, otteniamo \( x + 2z = 0 \) quindi \( x = -2z \). Le soluzioni del nucleo sono dunque della forma: \[ \begin{pmatrix} -2z \\ 0 \\ z \\ 0 \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \] Dunque, il nucleo di \( F \) è generato dal vettore \( \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) e ha dimensione 1. Per calcolare l'immagine di \( F \), consideriamo le colonne della matrice di \( F \): \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}. \] Si può notare che le prime tre colonne sono linearmente indipendenti, ma la quarta colonna può essere espressa come una combinazione delle prime tre. La dimensione dell'immagine, quindi, è 3. Infine, per verificare l'esistenza di una base di autovettori di \( F \), dobbiamo trovare gli autovalori e autovettori di \( F \). Questo richiede di calcolare il polinomio caratteristico \( \text{det}(F - \lambda I) = 0 \). Si può verificare che non ci sono sufficienti autovettori indipendenti (soprattutto per l'autovalore nullo), perciò non è possibile trovare una base di autovettori che copra \( \mathbb{R}^4 \). Riassumendo, la dimensione del nucleo è 1, la dimensione dell'immagine è 3, e non esiste una base di autovettori per \( F \) su \( \mathbb{R}^4 \).