Esercizio 3. Sia dato l'endomorfismo di $$ \mathbb{R}^{4} $$ definito da $$ F(x, y, z, t)=(x+2 y+2 z+4 t ; y ;-y-2 t ; y+2 t) $$ Calcolare la dimensione ed una base di nucleo e immagine di $$ F $$. Determinare, se esiste, una base di $$ \mathbb{R}^{4} $$ di autovettori per $$ F $$.

Question

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Per risolvere il problema, dobbiamo calcolare il nucleo e l'immagine dell'endomorfismo $$ F $$ definito da:

$$
F(x, y, z, t) = (x + 2y + 2z + 4t, y, -y - 2t, y + 2t)
$$

### Passo 1: Calcolo del nucleo di $$ F $$

Il nucleo di $$ F $$, denotato come $$ \text{Ker}(F) $$, è l'insieme di tutti i vettori $$ (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 $$ tali che $$ F(x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0) $$. Quindi, dobbiamo risolvere il sistema di equazioni:

$$
\begin{cases}
x + 2y + 2z + 4t = 0 \
y = 0 \
-y - 2t = 0 \
y + 2t = 0
\end{cases}
$$

Dalla seconda equazione, abbiamo $$ y = 0 $$. Sostituendo $$ y = 0 $$ nelle altre equazioni, otteniamo:

1. $$ x + 2(0) + 2z + 4t = 0 $$ → $$ x + 2z + 4t = 0 $$
2. $$ -0 - 2t = 0 $$ → $$ -2t = 0 $$ → $$ t = 0 $$
3. $$ 0 + 2t = 0 $$ → $$ 2t = 0 $$ → $$ t = 0 $$

Ora, sostituendo $$ t = 0 $$ nella prima equazione:

$$
x + 2z + 4(0) = 0 \implies x + 2z = 0 \implies x = -2z
$$

Quindi, il nucleo è dato da:

$$
\text{Ker}(F) = \{ (-2z, 0, z, 0) \mid z \in \mathbb{R} \}
$$

Possiamo parametrizzare il nucleo come:

$$
\text{Ker}(F) = \text{span}\{ (-2, 0, 1, 0) \}
$$

La dimensione del nucleo è quindi 1.

### Passo 2: Calcolo dell'immagine di $$ F $$

L'immagine di $$ F $$, denotata come $$ \text{Im}(F) $$, è l'insieme di tutti i vettori $$ F(x, y, z, t) $$ per $$ (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 $$. Possiamo scrivere $$ F $$ in forma matriciale:

$$
F(x, y, z, t) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0 & -2 \
0 & 1 & 0 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \
y \
z \
t
\end{pmatrix}
$$

Ora calcoliamo il rango della matrice associata a $$ F $$:

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0 & -2 \
0 & 1 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$

Applichiamo operazioni elementari per ridurre la matrice:

1. Sommiamo la seconda riga alla terza e alla quarta riga:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & -2 \
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$

2. Dividiamo la terza riga per -2:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

La matrice è ora in forma ridotta e possiamo vedere che ci sono 3 righe non nulle. Quindi, il rango di $$ A $$ è 3, il che implica che la dimensione dell'immagine è 3.

### Passo 3: Base del nucleo e dell'immagine

- **Base del nucleo**: $$ \{ (-2, 0, 1, 0) \} $$
- **Base dell'immagine**: Possiamo prendere le righe non nulle della matrice ridotta come base:

$$
\{ (1, 2, 2, 4), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) \}
$$

### Passo 4: Autovettori di $$ F $$

Per determinare se esiste una base di $$ \mathbb{R}^4 $$ di autovettori per $$ F $$, dobbiamo calcolare gli autovalori e gli autovettori di $$ F $$. Questo richiede di trovare i valori $$ \lambda $$ tali che $$ F(v) = \lambda v $$ per un vettore $$ v $$.

Calcoliamo il polinomio caratteristico di $$ F $$ e verifichiamo se ci sono 4 autovalori distinti. Se ci sono 4 autovalori distinti, allora possiamo trovare una base di autovettori.

Procediamo a calcolare il polinomio caratteristico. La matrice associata a $$ F $$ è:

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0 & -2 \
0 & 1 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$

Calcoliamo il determinante di $$ A - \lambda I $$:

$$
\text{det}(A - \lambda I) = 0
$$

Dove $$ I $$ è la matrice identità. Procediamo a calcolare il determinante.

### Calcolo del determinante

\[
A - \lambda I = \begin{pmatrix}
1 - \lambda & 2 & 2 & 4 \
0 & 1 - \lambda & 0 & 0 \
0 & -1 & -\lambda & -2
**Risposta Semplificata:** L'endomorfismo $$ F $$ ha: - **Dimensione del nucleo**: 1 - **Base del nucleo**: $$ \{ (-2, 0, 1, 0) \} $$ - **Dimensione dell'immagine**: 3 - **Base dell'immagine**: $$ \{ (1, 2, 2, 4), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) \} $$ Non esiste una base di $$ \mathbb{R}^4 $$ composta solo di autovettori per $$ F $$, poiché il rango di $$ F $$ è 3, non 4.

Esercizio 3. Sia dato l’endomorfismo di definito da

Calcolare la dimensione ed una base di nucleo e immagine di .
Determinare, se esiste, una base di di autovettori per .

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Answer

Solution

Passo 1: Calcolo del nucleo di

Passo 2: Calcolo dell’immagine di

Passo 3: Base del nucleo e dell’immagine

Passo 4: Autovettori di

Calcolo del determinante

Bonus Knowledge

Calcoliamo il nucleo di cercando le soluzioni dell’equazione :
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