B. Un emprendedor tiene un negocio de venta de camisetas y ha observado que sus beneficios B en
función del precio x de venta de cada camiseta (en dólares) pueden modelarse mediante la
función:

El enprendedor quiere maximizar sus beneficios y necesita saber en qué rango de precios x sus

Ask by Hodgson Hart. in Colombia

Jan 11,2025

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B. Un emprendedor tiene un negocio de venta de camisetas y ha observado que sus beneficios B en
función del precio x de venta de cada camiseta (en dólares) pueden modelarse mediante la
función:

El enprendedor quiere maximizar sus beneficios y necesita saber en qué rango de precios x sus

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Para maximizar los beneficios del emprendedor y determinar el rango de precios que optimiza dichos beneficios, analizaremos la función dada: $$ \mathrm{B}(x) = -x^{2} + 4x + 5 $$ ### 1. **Encontrar el precio que maximiza los beneficios** La función $$ \mathrm{B}(x) $$ es una parábola que abre hacia abajo (ya que el coeficiente de $$ x^2 $$ es negativo). El máximo beneficio se alcanza en el vértice de la parábola. La fórmula para encontrar la coordenada $$ x $$ del vértice es: $$ x = -\frac{b}{2a} $$ Donde: - $$ a = -1 $$ - $$ b = 4 $$ Sustituyendo los valores: $$ x = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 $$ Por lo tanto, el precio que maximiza los beneficios es de **2 dólares**. ### 2. **Calcular el beneficio máximo** Sustituimos $$ x = 2 $$ en la función $$ \mathrm{B}(x) $$: $$ \mathrm{B}(2) = - (2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 $$ El beneficio máximo es de **9 dólares**. ### 3. **Determinar el rango de precios donde los beneficios son positivos** Buscamos los valores de $$ x $$ para los cuales $$ \mathrm{B}(x) > 0 $$: $$ -x^{2} + 4x + 5 > 0 $$ Resolvemos la ecuación cuadrática $$ -x^{2} + 4x + 5 = 0 $$ para encontrar los puntos críticos: $$ -x^{2} + 4x + 5 = 0 $$ $$ x^{2} - 4x - 5 = 0 $$ Usando la fórmula cuadrática: $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} $$ Obtenemos dos soluciones: $$ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 $$ Dado que el precio no puede ser negativo, descartamos $$ x = -1 $$. Por lo tanto, los beneficios son positivos para: $$ 0 < x < 5 $$ ### **Conclusión** - **Precio que maximiza los beneficios:** 2 dólares. - **Beneficio máximo:** 9 dólares. - **Rango de precios con beneficios positivos:** desde cualquier precio mayor a 0 y menor a 5 dólares. Esto significa que el emprendedor debe fijar el precio de venta de las camisetas entre **0 y 5 dólares** para asegurar beneficios positivos, optimizando su precio a **2 dólares** para maximizar dichos beneficios. Para maximizar los beneficios, el emprendedor debe vender las camisetas a **2 dólares** cada una, lo cual proporciona un beneficio máximo de **9 dólares**. Los beneficios son positivos cuando el precio está entre **0 y 5 dólares**.

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