7. EVALÚA. Concluye el valor de las funciones trigonométricas que faltan. a. $$ \cos heta=\frac{3}{5} $$ y $$ heta $$ está en el cuadrante IV. b. $$ \operatorname{sen} heta=-\frac{2}{3} $$ y $$ 180^{\circ}

Question

7. EVALÚA. Concluye el valor de las funciones trigonométricas que faltan. a. $$ \cos 	heta=\frac{3}{5} $$ y $$ 	heta $$ está en el cuadrante IV. b. $$ \operatorname{sen} 	heta=-\frac{2}{3} $$ y $$ 180^{\circ}<	heta<270^{\circ} $$. c. $$ \csc 	heta=-2 $$ y $$ 	an 	heta>0 $$ d. $$ \sec 	heta=2 \mathrm{y} \operatorname{sen} 	heta<0 $$

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**a) Dado que** $$ \cos \theta = \frac{3}{5} $$ **y** $$\theta$$ **se encuentra en el IV, sabemos que el coseno es positivo y el seno es negativo.**

1. Calculamos $$ \sin \theta $$ usando la identidad:
   $$
   \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.
   $$
   Reemplazando:
   $$
   \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.
   $$
   Puesto que en el IV $$ \sin \theta < 0 $$,
   $$
   \sin \theta = -\frac{4}{5}.
   $$

2. Calculamos la tangente:
   $$
   \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}.
   $$

3. Calculamos las funciones recíprocas:
   $$
   \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{5}{3}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = -\frac{5}{4}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = -\frac{3}{4}.
   $$

---

**b) Dado que** $$ \operatorname{sen} \theta = -\frac{2}{3} $$ **y** $$ 180^\circ < \theta < 270^\circ $$ **(tercer cuadrante), tanto el seno como el coseno son negativos.**

1. Calculamos $$ \cos \theta $$:
   $$
   \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}.
   $$
   En el tercer cuadrante $$ \cos \theta < 0 $$, así:
   $$
   \cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}.
   $$

2. Calculamos la tangente:
   $$
   \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \quad (\text{al racionalizar}).
   $$

3. Funciones recíprocas:
   $$
   \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = -\frac{3}{2}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{3}{\sqrt{5}} = -\frac{3\sqrt{5}}{5}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sqrt{5}}{2}.
   $$

---

**c) Dado que** $$ \csc \theta = -2 $$, **entonces:**
$$
\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta} = -\frac{1}{2}.
$$
Además, se tiene la condición $$ \tan \theta > 0 $$.

1. Con $$ \sin \theta = -\frac{1}{2} $$, usamos la identidad para hallar $$ \cos \theta $$:
   $$
   \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
   $$
   Para que $$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$ sea positivo, el signo de $$ \cos \theta $$ debe ser igual al de $$ \sin \theta $$. Dado que $$ \sin \theta $$ es negativo, $$ \cos \theta $$ también debe ser negativo, por lo que:
   $$
   \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
   $$

2. Calculamos la tangente:
   $$
   \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
   $$

3. Funciones recíprocas:
   $$
   \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \sqrt{3}.
   $$

---

**d) Dado que** $$ \sec \theta = 2 $$, **entonces:**
$$
\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{2}.
$$
Además, se sabe que $$ \operatorname{sen} \theta < 0 $$, lo que indica que $$ \theta $$ se encuentra en el IV (en el IV, el coseno es positivo y el seno es negativo).

1. Utilizando la identidad:
   $$
   \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
   $$
   Dado que el seno es negativo:
   $$
   \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
   $$

2. Calculamos la tangente:
   $$
   \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}.
   $$

3. Funciones recíprocas:
   $$
   \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.
   $$
**a)** - $$ \sin \theta = -\frac{4}{5} $$ - $$ \tan \theta = -\frac{4}{3} $$ - $$ \sec \theta = \frac{5}{3} $$ - $$ \csc \theta = -\frac{5}{4} $$ - $$ \cot \theta = -\frac{3}{4} $$ **b)** - $$ \cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3} $$ - $$ \tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5} $$ - $$ \sec \theta = -\frac{3\sqrt{5}}{5} $$ - $$ \csc \theta = -\frac{3}{2} $$ - $$ \cot \theta = \frac{\sqrt{5}}{2} $$ **c)** - $$ \sin \theta = -\frac{1}{2} $$ - $$ \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ - $$ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ - $$ \sec \theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $$ - $$ \csc \theta = -2 $$ - $$ \cot \theta = \sqrt{3} $$ **d)** - $$ \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ - $$ \tan \theta = -\sqrt{3} $$ - $$ \sec \theta = 2 $$ - $$ \csc \theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $$ - $$ \cot \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

EVALÚA. Concluye el valor de las funciones trigonométricas
que faltan.
a. y está en el cuadrante IV.
b. y .
c. y
d.

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