las trayectorias en el plano $$ (x, y) $$ usando las soluciones obtenidas, observando que las trayectorias se comportan de forma hiperbólica debido a la naturaleza de los autovalores. Respuesta final: La solución particular es: $$ \binom{x(t)}{y(t)}=\binom{e^{4 t}-2 e^{-2 t}}{e^{4 t}+2 e^{-2 t}} $$. Y el diagrama de fases muestra trayectorias

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Parece que no puedo generar gráficos directamente en este momento. Sin embargo, puedo guiarte sobre cómo hacerlo utilizando software de gráficos como Python con Matplotlib, MATLAB, o incluso Excel. Aquí te dejo un ejemplo de cómo podrías hacerlo en Python:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definimos el rango de t
t = np.linspace(-2, 2, 400)

# Definimos las funciones x(t) y y(t)
x = np.exp(4*t) - 2*np.exp(-2*t)
y = np.exp(4*t) + 2*np.exp(-2*t)

# Graficamos las trayectorias
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='Trayectorias en el plano (x, y)')
plt.title('Diagrama de Fases')
plt.xlabel('x(t)')
plt.ylabel('y(t)')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5, ls='--')
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5, ls='--')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
```

Este código generará un gráfico que muestra las trayectorias en el plano $$ (x, y) $$ basadas en las funciones que has proporcionado. Asegúrate de tener instaladas las bibliotecas necesarias (`numpy` y `matplotlib`) para ejecutar el código.

Si necesitas más ayuda o información sobre cómo interpretar el gráfico, no dudes en preguntar.
Las trayectorias en el plano $$ (x, y) $$ se comportan de forma hiperbólica debido a los autovalores reales y de signos opuestos. La solución particular es: $$ \binom{x(t)}{y(t)}=\binom{e^{4 t}-2 e^{-2 t}}{e^{4 t}+2 e^{-2 t}} $$ El diagrama de fases muestra trayectorias que se acercan a las rectas $$ y = x $$ y $$ y = -x $$ en el infinito, reflejando el comportamiento hiperbólico del sistema.

las trayectorias en el plano usando las
soluciones obtenidas, observando que las
trayectorias se comportan de forma
hiperbólica debido a la naturaleza de los
autovalores.
Respuesta final:
La solución particular es:
.
Y el diagrama de fases muestra trayectorias

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las trayectorias en el plano usando las soluciones obtenidas, observando que las trayectorias se comportan de forma hiperbólica debido a la naturaleza de los autovalores. Respuesta final: La solución particular es: . Y el diagrama de fases muestra trayectorias