1.- En el siguiente triángulo $$ A B C, a=13 \mathrm{~cm}, \mathrm{c}=19 \mathrm{~cm},

Question

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Para resolver el triángulo $$ ABC $$ dado $$ a = 13 \, \text{cm} $$, $$ c = 19 \, \text{cm} $$ y $$ \angle B = 55^\circ $$, podemos utilizar la ley de los senos y la ley de los cosenos.

### Paso 1: Usar la ley de los cosenos para encontrar el lado $$ b $$

La ley de los cosenos establece que:

$$
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B)
$$

Sustituyendo los valores:

$$
b^2 = 13^2 + 19^2 - 2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot \cos(55^\circ)
$$

Calculamos cada término:

$$
b^2 = 169 + 361 - 2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot \cos(55^\circ)
$$

Calculamos $$ \cos(55^\circ) $$:

$$
\cos(55^\circ) \approx 0.5736
$$

Ahora sustituimos:

$$
b^2 = 169 + 361 - 2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 0.5736
$$

Calculamos $$ 2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 0.5736 $$:

$$
2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 0.5736 \approx 2 \cdot 247 \cdot 0.5736 \approx 283.2
$$

Entonces:

$$
b^2 = 169 + 361 - 283.2
$$
$$
b^2 = 530 - 283.2 = 246.8
$$
$$
b \approx \sqrt{246.8} \approx 15.7 \, \text{cm}
$$

### Paso 2: Usar la ley de los senos para encontrar los ángulos $$ A $$ y $$ C $$

La ley de los senos establece que:

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$

Primero, encontramos $$ \sin A $$:

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
\frac{13}{\sin A} = \frac{15.7}{\sin(55^\circ)}
$$

Calculamos $$ \sin(55^\circ) $$:

$$
\sin(55^\circ) \approx 0.8192
$$

Sustituyendo:

$$
\frac{13}{\sin A} = \frac{15.7}{0.8192}
$$

Calculamos $$ \frac{15.7}{0.8192} $$:

$$
\frac{15.7}{0.8192} \approx 19.1
$$

Entonces:

$$
\frac{13}{\sin A} = 19.1
$$

Despejamos $$ \sin A $$:

$$
\sin A = \frac{13}{19.1} \approx 0.6806
$$

Ahora encontramos $$ A $$:

$$
A \approx \arcsin(0.6806) \approx 43.5^\circ
$$

### Paso 3: Encontrar el ángulo $$ C $$

Sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo es $$ 180^\circ $$:

$$
C = 180^\circ - A - B
$$
$$
C = 180^\circ - 43.5^\circ - 55^\circ \approx 81.5^\circ
$$

### Resumen de los resultados

- $$ a = 13 \, \text{cm} $$
- $$ b \approx 15.7 \, \text{cm} $$
- $$ c = 19 \, \text{cm} $$
- $$ A \approx 43.5^\circ $$
- $$ B = 55^\circ $$
- $$ C \approx 81.5^\circ $$

El triángulo está completamente resuelto.
- $$ a = 13 \, \text{cm} $$ - $$ b \approx 15.7 \, \text{cm} $$ - $$ c = 19 \, \text{cm} $$ - $$ A \approx 43.5^\circ $$ - $$ B = 55^\circ $$ - $$ C \approx 81.5^\circ $$

1.- En el siguiente triángulo

, Resuelva el triángulo

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1.- En el siguiente triángulo , Resuelva el triángulo