b) Se \( f(x) \) è continua in \( [a, b] \) allora è derivabile in \( (a, b) \). \( \square \) vero \( \quad \square \) falso Perché:

**Falso** *Perché:* La continuità di una funzione \( f(x) \) su un intervallo chiuso \([a, b]\) non garantisce la sua derivabilità nell'intervallo aperto \((a, b)\). Esiste infatti almeno un esempio di funzione continua che non è derivabile in tutti i punti di \((a, b)\). **Esempio:** Consideriamo la funzione valore assoluto \( f(x) = |x| \) definita su \([-1, 1]\). - **Continuità:** \( f(x) \) è continua su \([-1, 1]\) perché non presenta interruzioni o salti. - **Derivabilità:** \( f(x) \) non è derivabile in \( x = 0 \) perché presenta un angolo (cuspide) in quel punto. Il limite del rapporto incrementale da sinistra e da destra non coincide: \[ f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1 \] \[ f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 \] Poiché \( f'_-(0) \neq f'_+(0) \), la derivata in \( x = 0 \) non esiste. Questo dimostra che una funzione continua su \([a, b]\) può non essere derivabile in alcuni punti dell'intervallo \((a, b)\).