Determina si la gráfica de la función \( h(x) = -\sqrt{x} + 4 \) representa una función inversa válida para su correspondiente función cuadrática. Justifica tu respuesta.

Para determinar si la gráfica de la función \( h(x) = -\sqrt{x} + 4 \) representa una función inversa válida para su correspondiente función cuadrática, primero debemos identificar la función cuadrática de la que proviene. 1. **Identificación de la función cuadrática**: La función cuadrática que corresponde a \( h(x) \) se puede obtener al despejar \( x \) en términos de \( y \). La función cuadrática que se relaciona con \( h(x) \) es \( f(x) = x^2 \). Para encontrar la función inversa, comenzamos con la relación: \[ y = -\sqrt{x} + 4 \] Despejamos \( x \): \[ y - 4 = -\sqrt{x} \] Multiplicamos por -1: \[ 4 - y = \sqrt{x} \] Elevamos al cuadrado ambos lados: \[ (4 - y)^2 = x \] Por lo tanto, la función inversa es: \[ x = (4 - y)^2 \] Esto implica que la función cuadrática original es \( f(y) = (4 - y)^2 \). 2. **Verificación de la validez de la función inversa**: Para que \( h(x) \) sea una función inversa válida, debe cumplir con la condición de que la composición de \( h \) y su función inversa \( f \) produzca \( x \): \[ h(f(y)) = y \quad \text{y} \quad f(h(x)) = x \] Comprobamos \( h(f(y)) \): \[ h((4 - y)^2) = -\sqrt{(4 - y)^2} + 4 \] Dado que \( \sqrt{(4 - y)^2} = |4 - y| \), y considerando que \( 4 - y \) es positivo o cero para \( y \leq 4 \): \[ h((4 - y)^2) = -(4 - y) + 4 = y \] Ahora comprobamos \( f(h(x)) \): \[ f(-\sqrt{x} + 4) = ((4 - (-\sqrt{x} + 4))^2 = (\sqrt{x})^2 = x \] 3. **Conclusión**: Ambas composiciones \( h(f(y)) = y \) y \( f(h(x)) = x \) se cumplen, lo que significa que \( h(x) = -\sqrt{x} + 4 \) es efectivamente la función inversa de la función cuadrática \( f(x) = x^2 \) (considerando el dominio adecuado). Por lo tanto, la gráfica de la función \( h(x) = -\sqrt{x} + 4 \) representa una función inversa válida para su correspondiente función cuadrática.