Demuestra por inducción que $$ \sum_{i=0}^{n}(2 i+1)=(n+1)^{2} $$

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Para demostrar la afirmación $$ \sum_{i=0}^{n}(2i+1)=(n+1)^{2} $$ por inducción matemática, seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Base de la inducción

Comenzamos verificando la base de la inducción para $$ n = 0 $$:

$$
\sum_{i=0}^{0}(2i+1) = 2(0)+1 = 1
$$

Por otro lado, calculamos $$ (0+1)^{2} $$:

$$
(0+1)^{2} = 1
$$

Ambos lados son iguales, por lo que la base de la inducción es verdadera.

### Paso 2: Hipótesis de inducción

Supongamos que la afirmación es verdadera para algún $$ n = k $$, es decir:

$$
\sum_{i=0}^{k}(2i+1) = (k+1)^{2}
$$

### Paso 3: Paso inductivo

Ahora debemos demostrar que la afirmación es verdadera para $$ n = k + 1 $$:

$$
\sum_{i=0}^{k+1}(2i+1) = \sum_{i=0}^{k}(2i+1) + (2(k+1)+1)
$$

Usando la hipótesis de inducción, sustituimos $$ \sum_{i=0}^{k}(2i+1) $$:

$$
\sum_{i=0}^{k+1}(2i+1) = (k+1)^{2} + (2(k+1)+1)
$$

Simplificamos el término adicional:

$$
2(k+1)+1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3
$$

Por lo tanto, tenemos:

$$
\sum_{i=0}^{k+1}(2i+1) = (k+1)^{2} + (2k + 3)
$$

Ahora, simplificamos la expresión:

$$
(k+1)^{2} + 2k + 3 = (k^{2} + 2k + 1) + 2k + 3 = k^{2} + 4k + 4
$$

Esto se puede reescribir como:

$$
k^{2} + 4k + 4 = (k+2)^{2}
$$

Finalmente, notamos que:

$$
(k+2)^{2} = (k+1+1)^{2} = (k+1+1)^{2}
$$

Por lo tanto, hemos demostrado que:

$$
\sum_{i=0}^{k+1}(2i+1) = (k+2)^{2}
$$

### Conclusión

Hemos completado el paso inductivo. Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, la afirmación $$ \sum_{i=0}^{n}(2i+1)=(n+1)^{2} $$ es verdadera para todo $$ n \geq 0 $$.
Para demostrar que $$ \sum_{i=0}^{n}(2i+1) = (n+1)^{2} $$ por inducción, primero verificamos la base para $$ n = 0 $$, que es verdadera. Luego, asumimos que la afirmación es cierta para $$ n = k $$ y mostramos que también lo es para $$ n = k + 1 $$. Finalmente, concluimos que la igualdad se cumple para todos $$ n \geq 0 $$.

Demuestra por inducción que

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