25. $$ \left(3 x^{2} y+2 x y+y^{3}\right) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0 $$

Question

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Consideramos la ecuación diferencial

$$
\left(3x^{2}y+2xy+y^{3}\right)dx+\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=0.
$$

El objetivo es encontrar una solución implícita a esta ecuación.

### 1. Determinar si la ecuación es exacta

Sea

$$
M(x,y)=3x^{2}y+2xy+y^{3}\quad \text{y}\quad N(x,y)=x^{2}+y^{2}.
$$

Calculamos las derivadas parciales:

$$
M_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(3x^{2}y+2xy+y^{3}\right)=3x^{2}+2x+3y^{2},
$$

$$
N_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=2x.
$$

Como $$M_{y}(x,y)\ne N_{x}(x,y)$$, la ecuación no es exacta.

### 2. Encontrar un factor integrante

Buscamos un factor integrante del tipo $$\mu(x)$$ (que depende solo de $$x$$). Multiplicamos la ecuación por $$\mu(x)$$ y pretendemos que la nueva forma:

$$
\mu(x)M(x,y)dx+\mu(x)N(x,y)dy=0,
$$

sea exacta. La condición de exactitud es

$$
\frac{\partial}{\partial y}\left(\mu(x)M\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\mu(x)N\right).
$$

Como $$\mu(x)$$ no depende de $$y$$, tenemos:

$$
\frac{\partial}{\partial y}\left(\mu(x)M\right)=\mu(x)\left(3x^{2}+2x+3y^{2}\right),
$$

$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(\mu(x)N\right)=\mu'(x)(x^{2}+y^{2})+\mu(x)(2x).
$$

Igualamos las dos expresiones:

$$
\mu(x)(3x^{2}+2x+3y^{2})=\mu'(x)(x^{2}+y^{2})+\mu(x)(2x).
$$

Reordenando, obtenemos:

$$
\mu'(x)(x^{2}+y^{2})=\mu(x)(3x^{2}+2x+3y^{2}-2x)=\mu(x)(3x^{2}+3y^{2}).
$$

Observando que $$x^{2}+y^{2}$$ es un factor común, siempre que $$x^{2}+y^{2}\ne 0\ podemos cancelar:

$$
\mu'(x)=3\mu(x).
$$

Esta es una ecuación diferencial separable para $$\mu(x)$$. Separando variables:

$$
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=3.
$$

Integrando:

$$
\ln\left|\mu(x)\right|=3x+C.
$$

Tomando la exponencial y, sin pérdida de generalidad, fijando la constante en 0 (ya que cualquier constante multiplicativa funciona):

$$
\mu(x)=e^{3x}.
$$

### 3. Multiplicar la ecuación por el factor integrante

Multiplicamos la ecuación original por $$e^{3x}$$:

$$
e^{3x}\left(3x^{2}y+2xy+y^{3}\right)dx+e^{3x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=0.
$$

Definimos:

$$
\tilde{M}(x,y)=e^{3x}\left(3x^{2}y+2xy+y^{3}\right),\quad \tilde{N}(x,y)=e^{3x}\left(x^{2}+y^{2}\right).
$$

Verifiquemos que ahora la ecuación es exacta. Calculamos:

$$
\tilde{M}_{y}(x,y)=e^{3x}\left(3x^{2}+2x+3y^{2}\right),
$$

$$
\tilde{N}_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{3x}(x^{2}+y^{2})\right)=3e^{3x}(x^{2}+y^{2})+e^{3x}(2x)=e^{3x}(3x^{2}+3y^{2}+2x).
$$

Observamos que

$$
\tilde{M}_{y}(x,y)= e^{3x}(3x^{2}+2x+3y^{2}) = \tilde{N}_{x}(x,y),
$$

por lo que la ecuación es exacta.

### 4. Encontrar la función potencial $$F(x,y)$$

Para una ecuación exacta existe una función $$F(x,y)$$ tal que

$$
F_{x}(x,y)=\tilde{M}(x,y) \quad \text{y} \quad F_{y}(x,y)=\tilde{N}(x,y).
$$

Resulta más sencillo integrar $$\tilde{N}(x,y)$$ con respecto a $$y$$:

$$
F(x,y)=\int \tilde{N}(x,y)\,dy = \int e^{3x}(x^{2}+y^{2})\,dy.
$$

Como $$e^{3x}$$ y $$x^2$$ son constantes con respecto a $$y$$:

$$
F(x,y)=e^{3x}\left(x^{2}y+\int y^{2}\,dy\right)+h(x)=e^{3x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)+h(x),
$$

donde $$h(x)$$ es una función de $$x$$ que surge de la integración.

Ahora, derivamos $$F(x,y)$$ con respecto a $$x$$ para identificar $$h(x)$$:

$$
F_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left[e^{3x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)\right]+h'(x).
$$

Aplicamos la regla del producto:

$$
F_{x}(x,y)=3e^{3x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)+e^{3x}(2xy)+h'(x).
$$

Simplificamos:

$$
F_{x}(x,y)=e^{3x}\bigl(3x^{2}y+y^{3}+2xy\bigr)+h'(x).
$$

Pero sabemos que $$F_{x}(x,y)$$ debe ser igual a $$\tilde{M}(x,y)$$:

$$
\tilde{M}(x,y)=e^{3x}\left(3x^{2}y+2xy+y^{3}\right).
$$

Comparando, deducimos que

$$
h'(x)=0\quad \Rightarrow \quad h(x)=\text{constante}.
$$

Podemos incorporar la constante en la constante de integración final.

### 5. Solución general

La función potencial es

$$
F(x,y)=e^{3x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)=C,
$$

donde $$C$$ es una constante arbitraria.

Esta es la solución implícita de la ecuación diferencial.
La solución general de la ecuación diferencial es $$ e^{3x}\left(x^{2}y + \frac{y^{3}}{3}\right) = C $$, donde $$ C $$ es una constante.

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Answer

Solution

Mind Expander

Step 1: Check for Exactness

Step 2: Finding an Integrating Factor

Step 3: Solving the Equation

Conclusion

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