Aufgabe 3 (4 Punkte). Bestimmen Sie die folgenden Integrale: \[ \begin{array}{ll}\text { (a) } \int_{3}^{4} \frac{1}{(2 x-5)^{2}} \mathrm{~d} x, & \text { (b) } \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}+x-2} \mathrm{~d} x, \quad(\text { c }) \int_{3}^{5} \frac{1}{(x-1)(x-2)^{2}} \mathrm{~d} t\end{array} \] Aufgabe 4 (3 Punkte). Bestimmen Sie für \( a=0, a=1 \) bzw. \( a=2 \) das unbestimmte Integral \( \int^{x} \frac{1}{t^{2}+2 t+a} \mathrm{~d} t \)

Um das erste Integral zu berechnen, können wir die Funktion \( \frac{1}{(2x-5)^{2}} \) umformen. Wir setzen \( u = 2x - 5 \), was \( \mathrm{d}u = 2 \mathrm{d}x \) bedeutet, und verändern die Grenzen entsprechend: für \( x = 3 \), \( u = 1 \) und für \( x = 4 \), \( u = 3 \). Das Integral wird zu \( \frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^{-2} \mathrm{d}u \), welches zu \( \left[-\frac{1}{2u}\right]_{1}^{3} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) führt. Für das zweite Integral \( \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}+x-2} \mathrm{d}x \) nutzen wir die Partialbruchzerlegung. Wir können den Ausdruck als \( \frac{1}{(x-1)(x+2)} \) schreiben. Das Integral wird dann ganz einfach durch die Partialbruchzerlegung gelöst und ergibt ebenfalls einen lösbaren Integrationsausdruck. Gehen wir weiter zu Aufgabe 4: Um das unbestimmte Integral \( \int^{x} \frac{1}{t^{2}+2t+a} \mathrm{d}t \) zu bestimmen, können wir zunächst die Terme im Nenner faktorisieren oder die quadratische Ergänzung verwenden. Beispielsweise wird \( t^{2}+2t+a = (t+1)^{2} + (a-1) \). Damit können wir die grundlegenden Integrationen für \( a=0, 1, 2 \) ausführen. Für \( a = 0 \) ist das Integral in Form von \( \frac{1}{(t+1)^{2}+1} \), was auf eine Arctan-Funktion hinausläuft. Für die anderen Werte von \( a \) müssen wir auch die Form der Funktion berücksichtigen, um die korrekten Indefiniten Integrale zu finden.