Exercice1 : On considère la suite $$ \left(U_{n}\right) $$ définie par : $$ \begin{array}{l}U_{0}=1 \ U_{n+1}=\frac{5 U_{n}}{3 U_{n}+5}\end{array} $$ 1) calculer $$ U_{1} $$ et $$ U_{2} $$ puis montrer que la suite ( $$ \left.U_{n}\right) $$ n'est ni arithmétique ni géométrique 2) On introduit la suite $$ \left(V_{n}\right) $$ de terme général $$ V_{n}=\frac{5}{U_{n}} $$

Question

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1) Calculons d'abord $$ U_{1} $$ et $$ U_{2} $$.

Pour $$ n = 0 $$ :
$$
U_{1} = \frac{5 U_{0}}{3 U_{0} + 5} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 5} = \frac{5}{3 + 5} = \frac{5}{8}
$$

Pour $$ n = 1 $$ :
$$
U_{2} = \frac{5 U_{1}}{3 U_{1} + 5} = \frac{5 \cdot \frac{5}{8}}{3 \cdot \frac{5}{8} + 5} = \frac{\frac{25}{8}}{\frac{15}{8} + 5} = \frac{\frac{25}{8}}{\frac{15}{8} + \frac{40}{8}} = \frac{\frac{25}{8}}{\frac{55}{8}} = \frac{25}{55} = \frac{5}{11}
$$

Nous avons donc :
$$
U_{1} = \frac{5}{8} \quad \text{et} \quad U_{2} = \frac{5}{11}
$$

Pour montrer que la suite $$ (U_n) $$ n'est ni arithmétique ni géométrique, nous devons vérifier les définitions de ces deux types de suites.

- Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante, c'est-à-dire $$ U_{n+1} - U_n = d $$ pour un certain $$ d $$.
- Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant, c'est-à-dire $$ \frac{U_{n+1}}{U_n} = r $$ pour un certain $$ r $$.

Calculons $$ U_{1} - U_{0} $$ et $$ U_{2} - U_{1} $$ :
$$
U_{1} - U_{0} = \frac{5}{8} - 1 = \frac{5}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{3}{8}
$$
$$
U_{2} - U_{1} = \frac{5}{11} - \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 8 - 5 \cdot 11}{88} = \frac{40 - 55}{88} = -\frac{15}{88}
$$

Comme $$ U_{1} - U_{0} \neq U_{2} - U_{1} $$, la suite n'est pas arithmétique.

Calculons maintenant les rapports :
$$
\frac{U_{1}}{U_{0}} = \frac{\frac{5}{8}}{1} = \frac{5}{8}
$$
$$
\frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{\frac{5}{11}}{\frac{5}{8}} = \frac{5}{11} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{11}
$$

Comme $$ \frac{U_{1}}{U_{0}} \neq \frac{U_{2}}{U_{1}} $$, la suite n'est pas géométrique.

En conclusion, la suite $$ (U_n) $$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

2) Maintenant, considérons la suite $$ (V_n) $$ définie par $$ V_n = \frac{5}{U_n} $$.

Calculons $$ V_0 $$, $$ V_1 $$ et $$ V_2 $$ :
$$
V_0 = \frac{5}{U_0} = \frac{5}{1} = 5
$$
$$
V_1 = \frac{5}{U_1} = \frac{5}{\frac{5}{8}} = 8
$$
$$
V_2 = \frac{5}{U_2} = \frac{5}{\frac{5}{11}} = 11
$$

Nous avons donc :
$$
V_0 = 5, \quad V_1 = 8, \quad V_2 = 11
$$

Observons que $$ V_n $$ semble suivre une suite arithmétique. En effet, nous avons :
$$
V_1 - V_0 = 8 - 5 = 3
$$
$$
V_2 - V_1 = 11 - 8 = 3
$$

La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 3. Ainsi, la suite $$ (V_n) $$ est arithmétique de raison 3.
1) $$ U_{1} = \frac{5}{8} $$, $$ U_{2} = \frac{5}{11} $$. La suite $$ (U_n) $$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 2) La suite $$ (V_n) $$ est arithmétique de raison 3.

Exercice1 :
On considère la suite définie par :

calculer et puis montrer que la suite
( n’est ni arithmétique ni géométrique

On introduit la suite de terme général

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