Exercice1 : On considère la suite \( \left(U_{n}\right) \) définie par : \[ \begin{array}{l}U_{0}=1 \\ U_{n+1}=\frac{5 U_{n}}{3 U_{n}+5}\end{array} \] 1) calculer \( U_{1} \) et \( U_{2} \) puis montrer que la suite ( \( \left.U_{n}\right) \) n'est ni arithmétique ni géométrique 2) On introduit la suite \( \left(V_{n}\right) \) de terme général \( V_{n}=\frac{5}{U_{n}} \)

1) Calculons d'abord \( U_{1} \) et \( U_{2} \). Pour \( n = 0 \) : \[ U_{1} = \frac{5 U_{0}}{3 U_{0} + 5} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 5} = \frac{5}{3 + 5} = \frac{5}{8} \] Pour \( n = 1 \) : \[ U_{2} = \frac{5 U_{1}}{3 U_{1} + 5} = \frac{5 \cdot \frac{5}{8}}{3 \cdot \frac{5}{8} + 5} = \frac{\frac{25}{8}}{\frac{15}{8} + 5} = \frac{\frac{25}{8}}{\frac{15}{8} + \frac{40}{8}} = \frac{\frac{25}{8}}{\frac{55}{8}} = \frac{25}{55} = \frac{5}{11} \] Nous avons donc : \[ U_{1} = \frac{5}{8} \quad \text{et} \quad U_{2} = \frac{5}{11} \] Pour montrer que la suite \( (U_n) \) n'est ni arithmétique ni géométrique, nous devons vérifier les définitions de ces deux types de suites. - Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante, c'est-à-dire \( U_{n+1} - U_n = d \) pour un certain \( d \). - Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant, c'est-à-dire \( \frac{U_{n+1}}{U_n} = r \) pour un certain \( r \). Calculons \( U_{1} - U_{0} \) et \( U_{2} - U_{1} \) : \[ U_{1} - U_{0} = \frac{5}{8} - 1 = \frac{5}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{3}{8} \] \[ U_{2} - U_{1} = \frac{5}{11} - \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 8 - 5 \cdot 11}{88} = \frac{40 - 55}{88} = -\frac{15}{88} \] Comme \( U_{1} - U_{0} \neq U_{2} - U_{1} \), la suite n'est pas arithmétique. Calculons maintenant les rapports : \[ \frac{U_{1}}{U_{0}} = \frac{\frac{5}{8}}{1} = \frac{5}{8} \] \[ \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{\frac{5}{11}}{\frac{5}{8}} = \frac{5}{11} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{11} \] Comme \( \frac{U_{1}}{U_{0}} \neq \frac{U_{2}}{U_{1}} \), la suite n'est pas géométrique. En conclusion, la suite \( (U_n) \) n'est ni arithmétique ni géométrique. 2) Maintenant, considérons la suite \( (V_n) \) définie par \( V_n = \frac{5}{U_n} \). Calculons \( V_0 \), \( V_1 \) et \( V_2 \) : \[ V_0 = \frac{5}{U_0} = \frac{5}{1} = 5 \] \[ V_1 = \frac{5}{U_1} = \frac{5}{\frac{5}{8}} = 8 \] \[ V_2 = \frac{5}{U_2} = \frac{5}{\frac{5}{11}} = 11 \] Nous avons donc : \[ V_0 = 5, \quad V_1 = 8, \quad V_2 = 11 \] Observons que \( V_n \) semble suivre une suite arithmétique. En effet, nous avons : \[ V_1 - V_0 = 8 - 5 = 3 \] \[ V_2 - V_1 = 11 - 8 = 3 \] La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 3. Ainsi, la suite \( (V_n) \) est arithmétique de raison 3.