$$ \left. \begin{array} { l } { \frac { \partial u } { \partial t } = \frac { \partial _ { 0 } v _ { 0 } } { \partial x ^ { 2 } } \quad 0 0 } \ { u ( x , 0 ) = e ^ { x } \quad 0

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { \frac { \partial u } { \partial t } = \frac { \partial _ { 0 } v _ { 0 } } { \partial x ^ { 2 } } \quad 0 < x < \pi , \quad t > 0 } \ { u ( 0 , t ) = u ( \pi , t ) = 0 \quad t > 0 } \ { u ( x , 0 ) = e ^ { x } \quad 0 < x < \pi } \end{array} ight. $$

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Para resolver el problema de valores en la frontera dado por: $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = v_0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < \pi, \quad t > 0 \ u(0,t) = u(\pi,t) = 0, \quad t > 0 \ u(x,0) = e^{x}, \quad 0 < x < \pi \end{array} \right. $$ seguimos los siguientes pasos: ### 1. **Separación de Variables** Supongamos una solución de la forma: $$ u(x,t) = X(x)T(t) $$ Sustituyendo en la ecuación diferencial: $$ X(x) \frac{dT}{dt} = v_0 T(t) \frac{d^2 X}{dx^2} $$ Dividiendo ambos lados por $$ v_0 X(x) T(t) $$: $$ \frac{1}{v_0 T} \frac{dT}{dt} = \frac{1}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} = -\lambda $$ donde $$ \lambda $$ es una constante de separación. ### 2. **Resolución de la Ecuación Espacial** Tenemos: $$ \frac{d^2 X}{dx^2} + \lambda X = 0 $$ Con las condiciones de frontera $$ X(0) = X(\pi) = 0 $$. Las soluciones no triviales existen cuando $$ \lambda = n^2 $$, donde $$ n $$ es un entero positivo. Así, las funciones propias son: $$ X_n(x) = \sin(n x), \quad n = 1, 2, 3, \ldots $$ ### 3. **Resolución de la Ecuación Temporal** La ecuación temporal es: $$ \frac{dT}{dt} + v_0 n^2 T = 0 $$ Solución general: $$ T_n(t) = C_n e^{-v_0 n^2 t} $$ ### 4. **Solución General por Superposición** La solución general es una superposición de las soluciones separadas: $$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n e^{-v_0 n^2 t} \sin(n x) $$ ### 5. **Determinar los Coeficientes $$ C_n $$** Aplicando la condición inicial $$ u(x,0) = e^{x} $$: $$ e^{x} = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin(n x) $$ Los coeficientes $$ C_n $$ se obtienen mediante la expansión en serie de Fourier seno en el intervalo $$ (0, \pi) $$: $$ C_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{x} \sin(n x) \, dx $$ Calculando la integral: $$ C_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{e^{x} (\sin(n x) - n \cos(n x))}{1 + n^2} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2 e^{\pi} ( - n \cos(n \pi)) }{\pi (1 + n^2)} $$ Debido a que $$ \cos(n\pi) = (-1)^n $$, los coeficientes finales son: $$ C_n = \frac{2 e^{\pi} (-1)^{n+1} n}{\pi (1 + n^2)} $$ ### 6. **Solución Final** Sustituyendo los coeficientes en la solución general: $$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 e^{\pi} (-1)^{n+1} n}{\pi (1 + n^2)} e^{-v_0 n^2 t} \sin(n x) $$ Esta es la solución expandida en serie de Fourier para el problema de difusión dado, que satisface las condiciones de frontera y la condición inicial proporcionadas. La solución al problema de difusión es: $$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 e^{\pi} (-1)^{n+1} n}{\pi (1 + n^2)} e^{-v_0 n^2 t} \sin(n x) $$ Esta serie satisface las condiciones de frontera $$ u(0,t) = u(\pi,t) = 0 $$ y la condición inicial $$ u(x,0) = e^{x} $$ en el intervalo $$ 0 < x < \pi $$ y $$ t > 0 $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

1. Separación de Variables

2. Resolución de la Ecuación Espacial

3. Resolución de la Ecuación Temporal

4. Solución General por Superposición

5. Determinar los Coeficientes

6. Solución Final

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