65. Известно, что $$ O A \perp O B, O A \perp O C, O B \perp O C( $$ рис. 52). 70. Че Найдите отрезок $$ B C $$, если $$ A B=8 $$ см, $$ A C=7 \mathrm{~cm} $$, Рис, 52 $$ \angle B A O=60^{\circ} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте решим задачу шаг за шагом.

### Дано:
1. Точки $$ O, A, B, C $$ расположены так, что $$ OA \perp OB $$, $$ OA \perp OC $$, $$ OB \perp OC $$. Это означает, что $$ OA, OB, OC $$ взаимно перпендикулярны и могут быть рассмотрены как оси координат.
2. $$ AB = 8 $$ см, $$ AC = 7 $$ см.
3. Угол $$ \angle BAO = 60^\circ $$.

### Обозначения:
- Пусть $$ O $$ — начало координат $$(0, 0, 0)$$.
- Точка $$ A $$ находится на оси $$ x $$ — $$ A = (a, 0, 0) $$.
- Точка $$ B $$ находится на оси $$ y $$ — $$ B = (0, b, 0) $$.
- Точка $$ C $$ находится на оси $$ z $$ — $$ C = (0, 0, c) $$.

### Шаг 1: Найдём координаты точек $$ A, B, C $$.

Из длины отрезков:
- $$ AB = \sqrt{a^2 + b^2} = 8 $$ см $$ \Rightarrow a^2 + b^2 = 64 $$ ...(1)
- $$ AC = \sqrt{a^2 + c^2} = 7 $$ см $$ \Rightarrow a^2 + c^2 = 49 $$ ...(2)

### Шаг 2: Используем информацию об угле.

Угол $$ \angle BAO = 60^\circ $$ — это угол между векторами $$ \vec{BA} $$ и $$ \vec{AO} $$.

- Вектор $$ \vec{BA} = (-a, b, 0) $$.
- Вектор $$ \vec{AO} = (-a, 0, 0) $$.

Скалярное произведение:
$$
\vec{BA} \cdot \vec{AO} = a^2
$$

Длина векторов:
$$
|\vec{BA}| = 8 \text{ см}, \quad |\vec{AO}| = a
$$

Используя форму скалярного произведения:
$$
\cos(60^\circ) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{AO}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{AO}|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a^2}{8a} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a}{8} \Rightarrow a = 4 \text{ см}
$$

### Шаг 3: Найдём $$ b $$ и $$ c $$.

Из уравнения (1):
$$
4^2 + b^2 = 64 \Rightarrow 16 + b^2 = 64 \Rightarrow b^2 = 48 \Rightarrow b = 4\sqrt{3} \text{ см}
$$

Из уравнения (2):
$$
4^2 + c^2 = 49 \Rightarrow 16 + c^2 = 49 \Rightarrow c^2 = 33 \Rightarrow c = \sqrt{33} \text{ см}
$$

### Шаг 4: Найдём отрезок $$ BC $$.

Точки $$ B = (0, 4\sqrt{3}, 0) $$ и $$ C = (0, 0, \sqrt{33}) $$.

Расстояние между ними:
$$
BC = \sqrt{(0-0)^2 + (4\sqrt{3}-0)^2 + (0 - \sqrt{33})^2} = \sqrt{0 + 48 + 33} = \sqrt{81} = 9 \text{ см}
$$

### Ответ:
Отрезок $$ BC $$ равен **9 см**.
Отрезок $$ BC $$ равен 9 см.

65. Известно, что \( O A \perp O B, O A \perp O C, O B \perp O C( \) рис. 52). 70. Че Найдите отрезок \( B C \), если \( A B=8 \) см, \( A C=7 \mathrm{~cm} \), Рис, 52 \( \angle B A O=60^{\circ} \).

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Geometry Questions