Answer
A função \( y = \ln(x) \) é o logarítmico natural, que é o inverso da exponencial \( e^x \). Seu domínio é \( x > 0 \), e ela é crescente. O gráfico corta o eixo X no ponto \( (1, 0) \) e se aproxima do eixo Y à medida que \( x \) se aproxima de 0. As principais propriedades incluem a derivada \( \frac{1}{x} \) e a integral \( x \ln(x) - x + C \). A função tem aplicações em crescimento populacional, decaimento radioativo, economia e ciências naturais.
Solution
Claro! Vamos estudar a função logarítmica natural \( y = \ln(x) \).
## 1. Definição
A função \( y = \ln(x) \) é chamada de **função logarítmica natural**. Ela é o inverso da função exponencial \( y = e^x \), onde \( e \) é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.
Matematicamente, \( y = \ln(x) \) significa que:
\[ e^y = x \]
## 2. Domínio e Imagem
- **Domínio**: Conjunto dos valores de \( x \) para os quais a função está definida.
\[ \text{Domínio}: x > 0 \]
- **Imagem**: Conjunto dos valores de \( y = \ln(x) \).
\[ \text{Imagem}: y \in \mathbb{R} \]
## 3. Gráfico da Função \( y = \ln(x) \)
### Características principais:
- **Intercepto com o eixo X**: A função corta o eixo X no ponto \( (1, 0) \), pois \( \ln(1) = 0 \).
- **Assíntota vertical**: Existe uma assíntota vertical em \( x = 0 \), ou seja, a curva se aproxima do eixo Y à medida que \( x \) se aproxima de 0, mas nunca o toca.
- **Crescimento**: A função é crescente em todo o seu domínio.
- **Comportamento para \( x \to +\infty \)**: A função cresce sem limites, embora de forma mais lenta comparada a funções exponenciais.
### Esboço do Gráfico:
```plaintext
y
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| *
| *
| *
| *
| *
| *
|-----------*---------------- x
|
|
|
|
|
```
*(O ponto \( (1,0) \) está destacado, e a curva se aproxima do eixo Y à esquerda)*
## 4. Propriedades da Função \( \ln(x) \)
1. **Inversa da Exponencial**:
\[ \ln(e^x) = x \quad \text{e} \quad e^{\ln(x)} = x \]
2. **Derivada**:
\[ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \]
3. **Integral**:
\[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C \]
4. **Propriedades dos Logaritmos**:
- **Produto**:
\[ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \]
- **Quociente**:
\[ \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \]
- **Potência**:
\[ \ln(a^b) = b \ln(a) \]
## 5. Aplicações da Função \( \ln(x) \)
A função logarítmica natural aparece em diversas áreas, como:
- **Crescimento Populacional**: Modelagem de crescimento onde a taxa de crescimento é proporcional à população atual.
- **Decaimento Radioativo**: Descreve o decaimento de substâncias radioativas ao longo do tempo.
- **Economia**: Cálculo de juros contínuos.
- **Ciências Naturais**: Fenômenos que envolvem processos de escalas logarítmicas.
## 6. Exemplos de Cálculo
### Exemplo 1: Encontrar \( \ln(e^3) \)
\[ \ln(e^3) = 3 \]
### Exemplo 2: Resolver \( \ln(x) = 2 \) para \( x \)
\[ e^{2} = x \]
\[ x = e^2 \approx 7,389 \]
### Exemplo 3: Derivar \( f(x) = \ln(x^2) \)
Usando a propriedade dos logaritmos:
\[ f(x) = 2 \ln(x) \]
\[ f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \]
## 7. Resumo
A função \( y = \ln(x) \) é fundamental no cálculo e em várias áreas da matemática e ciências aplicadas. Compreender seu comportamento, propriedades e aplicações é essencial para resolver uma ampla gama de problemas.
Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida específica, sinta-se à vontade para perguntar!
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