6.(6 boda) Provjerite da je vektorsko polje \( \vec{F}(x, y, z)=\left(z, z^{2}, 2 y z+x\right) \) konzervativno, nađite mu potencijal i pomoću njega izračunajte \( \int_{(1,2,1)}^{(2,3,3)} \vec{F} d \vec{r} \).

Provjerimo konzervativnost vektorskog polja \( \vec{F}(x, y, z) = \left(z, z^{2}, 2 y z + x\right) \), nađimo potencijalnu funkciju \( \phi \) i izračunajmo integral \( \int_{(1,2,1)}^{(2,3,3)} \vec{F} \cdot d\vec{r} \). ### 1. Provjera konzervativnosti Vektorsko polje je konzervativno ako je njegov rotor (curl) jednak nuli: \[ \text{rot} \, \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \] Izračunajmo pojedinačno: \[ \frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{\partial (2yz + x)}{\partial y} = 2z \] \[ \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial (z^2)}{\partial z} = 2z \] Prva komponenta rotora: \[ 2z - 2z = 0 \] Druga komponenta: \[ \frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial z}{\partial z} = 1 \] \[ \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial (2yz + x)}{\partial x} = 1 \] \[ 1 - 1 = 0 \] Treća komponenta: \[ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial (z^2)}{\partial x} = 0 \] \[ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \] \[ 0 - 0 = 0 \] Dakle, \(\text{rot} \, \vec{F} = (0, 0, 0)\), što znači da je vektorsko polje konzervativno. ### 2. Pronalaženje potencijalne funkcije \( \phi \) Tražimo funkciju \( \phi(x, y, z) \) takvu da važi: \[ \vec{F} = \nabla \phi \] Dakle: \[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = z \quad \Rightarrow \quad \phi = z x + g(y, z) \] \[ \frac{\partial \phi}{\partial y} = z^2 \quad \Rightarrow \quad g(y, z) = z^2 y + h(z) \] \[ \phi = z x + z^2 y + h(z) \] \[ \frac{\partial \phi}{\partial z} = x + 2z y + h'(z) = 2y z + x \] Iz ove jednadžbe slijedi: \[ h'(z) = 0 \quad \Rightarrow \quad h(z) = \text{konstanta} \] Za jednostavnost odabrati \( h(z) = 0 \), pa je potencijalna funkcija: \[ \phi(x, y, z) = x z + y z^2 \] ### 3. Izračunavanje integrala Koristeći potencijalnu funkciju, linijski integral je: \[ \int_{(1,2,1)}^{(2,3,3)} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \phi(2, 3, 3) - \phi(1, 2, 1) \] Izračunajmo vrijednosti: \[ \phi(2, 3, 3) = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 = 6 + 27 = 33 \] \[ \phi(1, 2, 1) = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1^2 = 1 + 2 = 3 \] \[ \int = 33 - 3 = 30 \] ### Rezultat Vektorsko polje je konzervativno s potencijalnom funkcijom \( \phi(x, y, z) = x z + y z^2 \). Vrijednost linijskog integrala od točke \( (1, 2, 1) \) do točke \( (2, 3, 3) \) je **30**.