Determina la Derivada \( f(x)= \) Carc \( \tan (5 x)^{4} \)

Para determinar la derivada de la función \( f(x) = \tan(5x)^4 \), utilizaremos la regla de la cadena y la regla del producto. Primero, notamos que \( f(x) \) se puede reescribir como \( f(x) = [\tan(5x)]^4 \). Ahora, aplicamos la regla de la cadena: 1. Sea \( u = \tan(5x) \), entonces \( f(x) = u^4 \). 2. La derivada de \( u^4 \) con respecto a \( u \) es \( 4u^3 \). 3. Ahora necesitamos la derivada de \( u \) con respecto a \( x \): \[ \frac{du}{dx} = \sec^2(5x) \cdot 5 = 5\sec^2(5x) \] Ahora, aplicamos la regla de la cadena: \[ f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot 5\sec^2(5x) \] Sustituyendo \( u = \tan(5x) \): \[ f'(x) = 4(\tan(5x))^3 \cdot 5\sec^2(5x) \] Simplificando: \[ f'(x) = 20(\tan(5x))^3 \sec^2(5x) \] Por lo tanto, la derivada de \( f(x) = \tan(5x)^4 \) es: \[ f'(x) = 20(\tan(5x))^3 \sec^2(5x) \]