Encuentre el volumen del sólido formado al girar la región entre $$ y = x^{3} $$ y $$ y = 0 $$ desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 2 $$ sobre el eje x.

Question

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Para encontrar el volumen del sólido generado al girar la región comprendida entre $$ y = x^3 $$ y $$ y = 0 $$ desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 2 $$ sobre el eje $$ x $$, utilizamos el método de los discos.

**Pasos a seguir:**

1. **Identificar la función y los límites de integración:**
   
   - Función: $$ y = x^3 $$
   - Límites de integración: $$ x = 0 $$ a $$ x = 2 $$

2. **Aplicar la fórmula del volumen mediante discos:**
   
   $$
   V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
   $$
   
   En este caso, $$ f(x) = x^3 $$, $$ a = 0 $$ y $$ b = 2 $$.

3. **Sustituir e integrar:**
   
   $$
   V = \pi \int_{0}^{2} (x^3)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2} x^6 \, dx
   $$
   
   $$
   V = \pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2}
   $$
   
   $$
   V = \pi \left( \frac{2^7}{7} - \frac{0^7}{7} \right) = \pi \left( \frac{128}{7} \right)
   $$

4. **Resultado final:**
   
   $$
   V = \frac{128\pi}{7}
   $$

Por lo tanto, el volumen del sólido es $$ \frac{128\pi}{7} $$ unidades cúbicas.
El volumen del sólido es $$ \frac{128\pi}{7} $$ unidades cúbicas.

Encuentre el volumen del sólido formado al girar la región entre y desde hasta sobre el eje x.

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