35 On considère les points $$ A(1 ; 1) $$ et $$ B(3 ; 2) $$ 1) Représenter les points $$ A $$ et $$ B $$ 2) Déterminer l'équation réduite de la droite $$ (A B) $$. 3) Déterminer l'équation réduite de la droite $$ (\Delta) $$ passant par le point $$ A $$ et orthogonale à $$ (A B) $$, 4) Déterminer l'équation réduite de la droite $$ \left(\Delta^{\prime}\right) $$ passant par le point $$ B $$ et tangente au cercle $$ (C) $$ de diamètre $$ [A B] $$.

Question

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1) Nous représentons les points  
   - $$ A(1;1) $$  
   - $$ B(3;2) $$

2) Pour déterminer l’équation de la droite $$ (AB) $$, nous calculons la pente $$ m $$ entre $$ A $$ et $$ B $$ :
$$
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2-1}{3-1} = \frac{1}{2}
$$
L'équation point-pente passant par $$ A(1;1) $$ est :
$$
y - 1 = \frac{1}{2}(x-1)
$$
En écrivant sous forme réduite, nous obtenons :
$$
y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
$$

3) Pour déterminer l’équation de la droite $$ (\Delta) $$ passant par $$ A(1;1) $$ et orthogonale à $$ (AB) $$, nous utilisons la relation de perpendicularité. La pente de $$ (AB) $$ étant $$ \frac{1}{2} $$, la pente de $$ (\Delta) $$ est :
$$
m_{\Delta} = -2
$$
L'équation passant par $$ A(1;1) $$ est donc :
$$
y - 1 = -2(x-1)
$$
Développons :
$$
y - 1 = -2x + 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 3
$$

4) Pour déterminer l’équation de la droite $$ \left(\Delta'\right) $$ passant par $$ B(3;2) $$ et tangente au cercle $$ (C) $$ de diamètre $$ [AB] $$, nous procédons ainsi :

a) Calcul du centre et du rayon du cercle $$ (C) $$  
   Le centre $$ O $$ est le milieu de $$ [AB] $$ :
$$
O\left(\frac{1+3}{2}; \frac{1+2}{2}\right) = \left(2; \frac{3}{2}\right)
$$
   La longueur de $$ [AB] $$ est :
$$
AB = \sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}
$$
   Le rayon $$ r $$ est donc :
$$
r = \frac{\sqrt{5}}{2}
$$

b) Pour trouver l’équation de la tangente en $$ B $$, il faut remarquer que la tangente au cercle en un point est perpendiculaire au rayon passant par ce point.  
   On calcule la pente du rayon $$ OB $$ entre $$ O\left(2; \frac{3}{2}\right) $$ et $$ B(3;2) $$ :
$$
m_{OB} = \frac{2 - \frac{3}{2}}{3-2} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}
$$
   La pente de la tangente $$ \left(\Delta'\right) $$ est l’inverse opposé :
$$
m_{\Delta'} = -2
$$
   L'équation de la tangente passant par $$ B(3;2) $$ est alors donnée par la formule point-pente :
$$
y - 2 = -2(x-3)
$$
   En développant :
$$
y - 2 = -2x + 6 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 8
$$

Les équations réduites demandées sont donc :

- $$ (AB):\quad y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} $$
- $$ (\Delta):\quad y = -2x + 3 $$
- $$ \left(\Delta'\right):\quad y = -2x + 8 $$
1) Points $$ A(1;1) $$ et $$ B(3;2) $$ sont représentés. 2) Équation de la droite $$ (AB) $$ : $$ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} $$. 3) Équation de la droite $$ (\Delta) $$ orthogonale à $$ (AB) $$ passant par $$ A $$ : $$ y = -2x + 3 $$. 4) Équation de la droite $$ \left(\Delta'\right) $$ tangente au cercle de diamètre $$ [AB] $$ passant par $$ B $$ : $$ y = -2x + 8 $$.

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