(4 pts) $$ x \in \mathbb{R} $$. On pose $$ E=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} $$. Montrer que : $$ E-1=\frac{-x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+1+x^{2}}} $$ Montrer que : $$ \sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2} \geq 2 $$. En déduire que : $$ |E-1| \leq \frac{1}{2}\left|x^{2} ight| $$. Déterminer une valeur approchée de $$ \frac{1}{\sqrt{1,0004}} $$ à $$ 2 imes 10^{-4} $$ prés.

Question

(4 pts) $$ x \in \mathbb{R} $$. On pose $$ E=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} $$. Montrer que : $$ E-1=\frac{-x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+1+x^{2}}} $$ Montrer que : $$ \sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2} \geq 2 $$. En déduire que : $$ |E-1| \leq \frac{1}{2}\left|x^{2}ight| $$. Déterminer une valeur approchée de $$ \frac{1}{\sqrt{1,0004}} $$ à $$ 2 	imes 10^{-4} $$ prés.

UpStudy AI · Accepted Answer

**Étape 1 : Montrer que $$ E - 1 = \dfrac{-x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1} $$**

Partant de $$ E = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} $$, nous pouvons exprimer $$ E - 1 $$ de la manière suivante :

$$
E - 1 = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} - 1 = \dfrac{1 - \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}
$$

Pour simplifier le numérateur, multiplions le numérateur et le dénominateur par $$ 1 + \sqrt{1 + x^{2}} $$ :

$$
E - 1 = \dfrac{(1 - \sqrt{1 + x^{2}})(1 + \sqrt{1 + x^{2}})}{\sqrt{1 + x^{2}}(1 + \sqrt{1 + x^{2}})} = \dfrac{1 - (1 + x^{2})}{\sqrt{1 + x^{2}}(1 + \sqrt{1 + x^{2}})}
$$

$$
E - 1 = \dfrac{-x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1}
$$

**Étape 2 : Montrer que $$ \sqrt{1 + x^{2}} + 1 \geq 2 $$**

Observons que $$ \sqrt{1 + x^{2}} \geq 1 $$ pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$, puisque $$ x^{2} \geq 0 $$. Donc :

$$
\sqrt{1 + x^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2
$$

**Étape 3 : En déduire que $$ |E - 1| \leq \dfrac{1}{2}|x^{2}| $$**

À partir de l'étape 1 et sachant que $$ \sqrt{1 + x^{2}} + 1 \geq 2 $$, nous avons :

$$
|E - 1| = \left| \dfrac{-x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1} \right| = \dfrac{|x^{2}|}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1} \leq \dfrac{|x^{2}|}{2} = \dfrac{1}{2} |x^{2}|
$$

**Étape 4 : Déterminer une valeur approchée de $$ \dfrac{1}{\sqrt{1.0004}} $$ à $$ 2 \times 10^{-4} $$ près**

Nous cherchons une approximation de $$ \dfrac{1}{\sqrt{1.0004}} $$.

Utilisons la série de Taylor pour $$ f(h) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + h}} $$ autour de $$ h = 0 $$ :

$$
f(h) \approx 1 - \dfrac{1}{2}h + \dfrac{3}{8}h^{2}
$$

Ici, $$ h = 0.0004 $$. Calculons les termes nécessaires :

$$
f(0.0004) \approx 1 - \dfrac{1}{2}(0.0004) + \dfrac{3}{8}(0.0004)^{2}
$$

$$
f(0.0004) \approx 1 - 0.0002 + \dfrac{3}{8}(0.00000016)
$$

$$
f(0.0004) \approx 1 - 0.0002 + 0.00000006 = 0.99980006
$$

Arrondi à $$ 2 \times 10^{-4} $$, nous obtenons :

$$
\dfrac{1}{\sqrt{1.0004}} \approx 0.9998
$$
**Étape 1 : Montrer que $$ E - 1 = \dfrac{-x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1} $$** $$ E - 1 = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} - 1 = \dfrac{1 - \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} $$ Multiplie le numérateur et le dénominateur par $$ 1 + \sqrt{1 + x^{2}} $$: $$ E - 1 = \dfrac{(1 - \sqrt{1 + x^{2}})(1 + \sqrt{1 + x^{2}})}{\sqrt{1 + x^{2}}(1 + \sqrt{1 + x^{2}})} = \dfrac{1 - (1 + x^{2})}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1} = \dfrac{-x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1} $$ **Étape 2 : Montrer que $$ \sqrt{1 + x^{2}} + 1 \geq 2 $$** $$ \sqrt{1 + x^{2}} \geq 1 \implies \sqrt{1 + x^{2}} + 1 \geq 2 $$ **Étape 3 : En déduire que $$ |E - 1| \leq \dfrac{1}{2}|x^{2}| $$** $$ |E - 1| = \dfrac{|x^{2}|}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1} \leq \dfrac{|x^{2}|}{2} = \dfrac{1}{2} |x^{2}| $$ **Étape 4 : Déterminer une valeur approchée de $$ \dfrac{1}{\sqrt{1.0004}} $$ à $$ 2 \times 10^{-4} $$ près** Utilise la série de Taylor pour $$ f(h) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + h}} $$ autour de $$ h = 0 $$: $$ f(h) \approx 1 - \dfrac{1}{2}h + \dfrac{3}{8}h^{2} $$ Avec $$ h = 0.0004 $$: $$ f(0.0004) \approx 1 - 0.0002 + 0.00000006 = 0.99980006 $$ Arrondi à $$ 2 \times 10^{-4} $$: $$ \dfrac{1}{\sqrt{1.0004}} \approx 0.9998 $$

(4 pts)
. On pose .
Montrer que :
Montrer que : .
En déduire que : .
Déterminer une valeur approchée de à prés.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Calculus Questions

(4 pts) . On pose . Montrer que : Montrer que : . En déduire que : . Déterminer une valeur approchée de à prés.