EsERCIzIo 16.8 Si considerino i vettori in \( \mathbb{R}^{3} \) \[ v_{1}=(1,2,-1) \quad v_{2}=(1,0,1) \quad v_{3}=(1,2,0) \] (i) Calcolare \( \left\|v_{1}\right\|,\left\|v_{2}\right\| \) e \( \left\|v_{3}\right\| \). (ii) Calcolare gli angoli individuati dai tre vettori. (iii) Determinare tutti i vettori contemporaneamente ortogonali a \( v_{1} \) e \( v_{2} \) e provare che formano un sottospazio vettoriale di \( \mathbb{R}^{3} \). (iv) Calcolare tutti i vettori ortogonali a \( w=\frac{1000}{873} v_{3} \). (v) Determinare la proiezione ortogonale di \( v_{1} \) e \( v_{3} \) sulla direzione del vettore \( v_{2} \). Svolgimento

Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo. ### (i) Calcolare \( \left\|v_{1}\right\|,\left\|v_{2}\right\| \) e \( \left\|v_{3}\right\| \). La norma di un vettore \( v = (x, y, z) \) in \( \mathbb{R}^{3} \) è data dalla formula: \[ \left\|v\right\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Calcoliamo le norme dei vettori \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \): 1. Per \( v_{1} = (1, 2, -1) \): \[ \left\|v_{1}\right\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] 2. Per \( v_{2} = (1, 0, 1) \): \[ \left\|v_{2}\right\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] 3. Per \( v_{3} = (1, 2, 0) \): \[ \left\|v_{3}\right\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5} \] ### (ii) Calcolare gli angoli individuati dai tre vettori. Gli angoli tra due vettori \( u \) e \( v \) possono essere calcolati usando la formula del coseno: \[ \cos(\theta) = \frac{u \cdot v}{\left\|u\right\| \left\|v\right\|} \] dove \( u \cdot v \) è il prodotto scalare dei vettori. Calcoliamo i prodotti scalari: 1. \( v_{1} \cdot v_{2} \): \[ v_{1} \cdot v_{2} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = 1 + 0 - 1 = 0 \] Quindi, \( \theta_{12} = 90^\circ \). 2. \( v_{1} \cdot v_{3} \): \[ v_{1} \cdot v_{3} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 = 1 + 4 + 0 = 5 \] \[ \cos(\theta_{13}) = \frac{5}{\left\|v_{1}\right\| \left\|v_{3}\right\|} = \frac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \] Quindi, \( \theta_{13} = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{30}}{6}\right) \). 3. \( v_{2} \cdot v_{3} \): \[ v_{2} \cdot v_{3} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1 \] \[ \cos(\theta_{23}) = \frac{1}{\left\|v_{2}\right\| \left\|v_{3}\right\|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \] Quindi, \( \theta_{23} = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \). ### (iii) Determinare tutti i vettori contemporaneamente ortogonali a \( v_{1} \) e \( v_{2} \). Un vettore \( w = (x, y, z) \) è ortogonale a \( v_{1} \) e \( v_{2} \) se soddisfa le seguenti equazioni: \[ v_{1} \cdot w = 0 \quad \text{e} \quad v_{2} \cdot w = 0 \] Scriviamo le equazioni: 1. \( 1x + 2y - 1z = 0 \) (da \( v_{1} \)) 2. \( 1x + 0y + 1z = 0 \) (da \( v_{2} \)) Risolvendo il sistema di equazioni, otteniamo: \[ \begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ x + z = 0 \end{cases} \] Sostituiamo \( z = -x \) nella prima equazione: \[ x + 2y + x = 0 \implies 2x + 2y = 0 \implies x + y = 0 \implies y = -x \] Quindi, i vettori ortogonali a \( v_{1} \) e \( v_{2} \) sono della forma: \[ w = (x, -x, -x) = x(1, -1, -1) \] Dove \( x \) è un parametro reale. Questo forma un sottospazio vettoriale di \( \mathbb{R}^{3} \). ### (iv) Calcolare tutti i vettori ortogonali a \( w=\frac{1000}{873} v_{3} \). Calcoliamo prima \( w \): \[ w = \frac{1000}{873}(1, 2, 0) = \left(\frac{1000}{873}, \frac{2000}{873}, 0\right) \] Un vettore \( u = (x, y, z) \) è ortogonale a \( w \) se: \[ w \cdot u = 0 \implies \frac{1000}{873}x + \frac{2000}{873}y + 0z = 0 \] Semplificando, otteniamo: \[ 1000x + 2000y = 0 \implies 2x + 4y = 0 \implies y = -\frac{1}{2}x \] Quindi