42 La ruota di una roulette compie 2,5 giri ogni secondo e il suo diametro misura 60 cm . Determina: - il periodo di rotazione della roulette; - la velocità di un punto $$ P $$ posto sul bordo della roulette; - laccelerazione di una pallina che vada a posizionarsi in una casella a 20 cm dal centro della ruota. [ $$ \left.0,40 \mathrm{~s} ; 4,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 49 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right] $$

Question

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Per risolvere il problema proposto relativo alla roulette, analizziamo ciascuno dei punti richiesti passo dopo passo.

### Dati forniti:
- **Numero di giri al secondo (f):** 2,5 giri/s
- **Diametro della roulette (D):** 60 cm ⇒ **Raggio (R):** 30 cm = 0,3 m
- **Distanza dal centro per la pallina (r):** 20 cm = 0,2 m

### 1. **Periodo di rotazione della roulette (T)**

Il periodo di rotazione $$ T $$ è l'inverso della frequenza $$ f $$.

$$ T = \frac{1}{f} $$

Sostituendo i valori:

$$ T = \frac{1}{2,5 \, \text{giri/s}} = 0,4 \, \text{s} $$

**Risultato:**
$$ T = 0,40 \, \text{s} $$

### 2. **Velocità di un punto $$ P $$ posto sul bordo della roulette (v)**

La velocità tangenziale $$ v $$ di un punto sulla periferia della roulette si calcola usando la formula:

$$ v = \omega \cdot R = 2\pi f \cdot R $$

Dove:
- $$ \omega = 2\pi f $$ è la velocità angolare.

Calcoliamo $$ \omega $$:

$$ \omega = 2\pi \cdot 2,5 \, \text{giri/s} = 5\pi \, \text{rad/s} $$

Ora calcoliamo $$ v $$:

$$ v = 5\pi \cdot 0,3 \, \text{m} \approx 4,712 \, \text{m/s} $$

Arrotondando:

$$ v \approx 4,7 \, \text{m/s} $$

**Risultato:**
$$ v = 4,7 \, \text{m/s} $$

### 3. **Accelerazione della pallina a 20 cm dal centro (a)**

L'accelerazione centripeta $$ a $$ necessaria per mantenere la pallina in traiettoria circolare si calcola con:

$$ a = \omega^2 \cdot r $$

Dove:
- $$ \omega = 5\pi \, \text{rad/s} $$
- $$ r = 0,2 \, \text{m} $$

Calcoliamo $$ \omega^2 $$:

$$ \omega^2 = (5\pi)^2 = 25\pi^2 \approx 246,74 \, \text{rad}^2/\text{s}^2 $$

Ora calcoliamo $$ a $$:

$$ a = 246,74 \cdot 0,2 \, \text{m} \approx 49,35 \, \text{m/s}^2 $$

Arrotondando:

$$ a \approx 49 \, \text{m/s}^2 $$

**Risultato:**
$$ a = 49 \, \text{m/s}^2 $$

### **Riassunto dei Risultati:**
- **Periodo di rotazione:** $$ T = 0,40 \, \text{s} $$
- **Velocità di un punto sul bordo:** $$ v = 4,7 \, \text{m/s} $$
- **Accelerazione della pallina:** $$ a = 49 \, \text{m/s}^2 $$
- **Periodo di rotazione:** 0,40 secondi - **Velocità di un punto sul bordo:** 4,7 metri al secondo - **Accelerazione della pallina:** 49 metri al secondo quadrato

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